[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12017":193,"$fOC4Say7XWQYwN5IoYB549-GEzuvJgE1Zo9stV9lD-S0":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12017,1168,1182,2582,"فرمول ترکیب: رابطه (n r)=n! \u002F ((n−r)! r!) برای 0≤r≤n",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F12017H6jQcGw87JyZnEUwXvn7_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"[فرمول ترکیب و کاربردهای آن]\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n    \u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">فرمول ترکیب: کلید محاسبه انتخاب‌های بدون ترتیب\u003C\u002Fh2>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">آشنایی با فاکتوریل، رابطه C(n,r) و کاربردهای آن در زندگی روزمره و مسائل علمی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n        در این مقاله با فرمول ترکیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(n,r)$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> آشنا می‌شویم. این رابطه که به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r} = \\frac{n!}{(n-r)! \\times r!}$\u003C\u002Fspan> تعریف می‌شود، تعداد روش‌های انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> شیء از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> شیء متمایز را بدون در نظر گرفتن ترتیب به ما می‌دهد. مفاهیم فاکتوریل، تفاوت ترکیب با جایگشت، خواص مهم این فرمول و کاربردهای عملی آن در مسائل شرط‌بندی، تیم‌سازی و ریاضیات گسسته بررسی خواهد شد.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مفهوم فاکتوریل و نمادگذاری\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        پیش از پرداختن به اصل فرمول ترکیب، باید با مفهوم فاکتوریل\u003Csup id=\"footnote-ref1\">1\u003C\u002Fsup> آشنا شویم. فاکتوریل یک عدد طبیعی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n!$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود، حاصل‌ضرب تمام اعداد طبیعی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> است. به عبارت دیگر:\r\n        \u003C\u002Fp>\u003Cdiv style=\"margin: 8px 0; text-align: center; : \">\r\n            \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$n! = n \\times (n-1) \\times (n-2) \\times \\dots \\times 2 \\times 1$\u003C\u002Fspan>\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n        برای نمونه، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5! = 5 \\times 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1 = 120$\u003C\u002Fspan>. یک حالت خاص و مهم، فاکتوریل صفر است که مقدار آن برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> تعریف می‌شود (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0! = 1$\u003C\u002Fspan>) تا فرمول‌ها و روابط بعدی دچار نقص نشوند.\r\n    \r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        نماد ترکیب به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(n,r)$\u003C\u002Fspan> خوانده می‌شود و به معنای "انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan>" است. شرط استفاده از این فرمول آن است که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0 \\le r \\le n$\u003C\u002Fspan> و تمام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> شیء اولیه با یکدیگر متفاوت باشند.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">تفاوت ترکیب با جایگشت\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        یکی از مهم‌ترین نکات در درک فرمول ترکیب، تمایز آن با جایگشت\u003Csup id=\"footnote-ref2\">2\u003C\u002Fsup> است. در جایگشت، ترتیب قرارگیری عناصر اهمیت دارد، در حالی که در ترکیب، ترتیب اهمیتی ندارد و تنها انتخاب اعضا مطرح است. برای روشن شدن موضوع، به این مثال توجه کنید:\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        فرض کنید می‌خواهیم از میان سه کتاب متفاوت (ریاضی، فیزیک، شیمی) دو کتاب را انتخاب کنیم. اگر ترتیب انتخاب مهم باشد (یعنی کتاب اول و دوم با هم فرق کنند)، حالت‌های ممکن عبارتند از: (ریاضی، فیزیک)، (فیزیک، ریاضی)، (ریاضی، شیمی)، (شیمی، ریاضی)، (فیزیک، شیمی)، (شیمی، فیزیک) که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">6\u003C\u002Fspan> حالت می‌شود. این همان جایگشت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(3,2) = \\frac{3!}{(3-2)!} = 6$\u003C\u002Fspan> است. اما اگر ترتیب مهم نباشد و فقط انتخاب دو کتاب مد نظر باشد، مجموعه‌های {ریاضی، فیزیک}، {ریاضی، شیمی} و {فیزیک، شیمی} فقط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> حالت خواهند داشت. این همان ترکیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{3}{2}=3$\u003C\u002Fspan> است.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cstrong>نکته:\u003C\u002Fstrong> رابطه کلی بین جایگشت و ترکیب به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$P(n,r) = \\binom{n}{r} \\times r!$\u003C\u002Fspan> است. یعنی اگر در ترکیب، ترتیب عناصر را نیز لحاظ کنیم (ضرب در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan>)، به تعداد جایگشت‌ها می‌رسیم.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">استخراج گام‌به‌گام فرمول اصلی\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        برای یافتن فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan>، از جایگشت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(n,r)$\u003C\u002Fspan> شروع می‌کنیم. می‌دانیم تعداد روش‌های انتخاب و مرتب کردن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> شیء از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> شیء برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{n!}{(n-r)!}$\u003C\u002Fspan> است. در این تعداد، هر دسته از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> عنصر انتخاب شده، به تعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> بار (به دلیل ترتیب‌های مختلف) تکرار شده است. بنابراین برای حذف اثر ترتیب و یافتن ترکیب، کافی است تعداد جایگشت‌ها را بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> تقسیم کنیم:\r\n        \u003C\u002Fp>\u003Cdiv style=\"margin: 8px 0; text-align: center; : \">\r\n            \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$\\binom{n}{r} = \\frac{P(n,r)}{r!} = \\frac{\\frac{n!}{(n-r)!}}{r!} = \\frac{n!}{(n-r)! \\times r!}$\u003C\u002Fspan>\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n    \r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        برای اطمینان از درستی، آن را برای مثال دو کتاب از سه کتاب محاسبه می‌کنیم:\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$\\binom{3}{2} = \\frac{3!}{(3-2)! \\times 2!} = \\frac{3 \\times 2 \\times 1}{(1)! \\times (2 \\times 1)} = \\frac{6}{2} = 3$\u003C\u002Fspan> که همان答え قبلی است.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مثال‌های عینی و عددی از کاربرد فرمول\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        \u003Cstrong>مثال ۱ (انتخاب تیم):\u003C\u002Fstrong> یک مربی می‌خواهد از بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">10\u003C\u002Fspan> بازیکن، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> نفر را برای تیم اصلی انتخاب کند. تعداد حالت‌های ممکن چندتاست؟ چون ترتیب بازیکنان در تیم اصلی مطرح نیست (صرفاً انتخاب اعضا)، از ترکیب استفاده می‌کنیم:\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$\\binom{10}{5} = \\frac{10!}{5! \\times 5!} = \\frac{10 \\times 9 \\times 8 \\times 7 \\times 6}{5 \\times 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1} = 252$\u003C\u002Fspan>. بنابراین مربی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">252\u003C\u002Fspan> حالت مختلف برای انتخاب تیم مواجه است.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        \u003Cstrong>مثال ۲ (خرید بستنی):\u003C\u002Fstrong> یک بستنی فروشی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">7\u003C\u002Fspan> طعم مختلف دارد. مشتری می‌خواهد یک بشقاب با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> اسکوپ متفاوت (بدون ترتیب) سفارش دهد. تعداد بشقاب‌های ممکن چقدر است؟\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$\\binom{7}{3} = \\frac{7!}{4! \\times 3!} = \\frac{7 \\times 6 \\times 5}{3 \\times 2 \\times 1} = 35$\u003C\u002Fspan>. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">35\u003C\u002Fspan> نوع بشقاب بستنی متفاوت می‌تواند سفارش دهد.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        \u003Cstrong>مثال ۳ (قرعه‌کشی):\u003C\u002Fstrong> در یک کیسه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">20\u003C\u002Fspan> توپ شماره‌گذاری شده وجود دارد. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> توپ به طور همزمان بیرون بکشیم، احتمال اینکه اعداد خاصی بیرون بیایند چقدر است؟ تعداد کل حالت‌های ممکن برای کشیدن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> توپ از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">20\u003C\u002Fspan>، بدون توجه به ترتیب، برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{20}{4} = \\frac{20!}{16! \\times 4!} = 4845$\u003C\u002Fspan> است.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">ویژگی‌های کلیدی ترکیب\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        فرمول ترکیب دارای خواص جالبی است که محاسبات را ساده‌تر می‌کند. مهم‌ترین این ویژگی‌ها عبارتند از:\r\n        \u003C\u002Fp>\u003Cul style=\"margin: 8px 0 16px 0; padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n            \u003Cli>\u003Cstrong>خاصیت مکمل بودن:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$\\binom{n}{r} = \\binom{n}{n-r}$\u003C\u002Fspan>. به زبان ساده، انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> شیء از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> شیء، معادل با انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n-r\u003C\u002Fspan> شیء و باقی‌گذاشتن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> شیء است. برای مثال، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{10}{3} = \\binom{10}{7}$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n            \u003Cli>\u003Cstrong>حالت‌های خاص:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{0} = \\binom{n}{n} = 1$\u003C\u002Fspan>. یعنی فقط یک راه برای انتخاب هیچ‌کدام یا همه اشیاء وجود دارد.\u003C\u002Fli>\r\n            \u003Cli>\u003Cstrong>رابطه بازگشتی (مثلث خیام\u003Csup id=\"footnote-ref3\">3\u003C\u002Fsup>):\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$\\binom{n}{r} = \\binom{n-1}{r-1} + \\binom{n-1}{r}$\u003C\u002Fspan>. این ویژگی پایه ساخت مثلث معروف خیام-پاسکال است.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003C\u002Ful>\r\n    \r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مثلث خیام و نمایش ترکیب‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        مثلث خیام که در غرب با نام مثلث پاسکال شناخته می‌شود، آرایشی از ضرایب بسط دوجمله‌ای است. در این مثلث، هر خانه برابر با یک ترکیب است. سطر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan>ام مثلث شامل مقادیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{0}, \\binom{n}{1}, \\dots, \\binom{n}{n}$\u003C\u002Fspan> می‌باشد. برای نمونه، سطرهای ابتدایی آن به این صورت هستند:\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"[مثلث خیام]\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n        \u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n            \u003Cthead>\r\n                \u003Ctr>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">سطر (n)\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مقادیر ترکیب‌ها\u003C\u002Fth>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Fthead>\r\n            \u003Ctbody>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">0\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1 1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1 2 1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1 3 3 1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1 4 6 4 1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1 5 10 10 5 1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Ftbody>\r\n        \u003C\u002Ftable>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        برای نمونه، عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">10\u003C\u002Fspan> در سطر پنجم برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{5}{2} = \\binom{5}{3}$\u003C\u002Fspan>. این مثلث کاربرد زیادی در بسط دوجمله‌ای‌ها دارد.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی رایج\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; background: #ffffff; border-radius: 8px; : \">\r\n            \u003Cstrong>❓ چرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0! = 1$\u003C\u002Fspan> تعریف می‌شود؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n            \u003Cspan style=\"display: inline-block; margin-top: 6px; color: #344054; : \">این تعریف برای حفظ سازگاری ریاضی انجام شده است. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0! = 0$\u003C\u002Fspan> باشد، فرمول ترکیب برای حالت‌هایی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{n}$\u003C\u002Fspan> که باید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> باشد، به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{n!}{0! \\times n!}$\u003C\u002Fspan> تبدیل و مبهم می‌شد. همچنین خاصیت بازگشتی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n! = n \\times (n-1)!$\u003C\u002Fspan> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n=1$\u003C\u002Fspan>، مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0! = 1$\u003C\u002Fspan> را نتیجه می‌دهد.\u003C\u002Fspan>\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n        \u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; background: #ffffff; border-radius: 8px; : \">\r\n            \u003Cstrong>❓ چگونه بفهمیم یک مسئله از نوع ترکیب است یا جایگشت؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n            \u003Cspan style=\"display: inline-block; margin-top: 6px; color: #344054; : \">به سادگی، اگر در مسئله جابه‌جایی دو عنصر، حالت جدیدی ایجاد کند (مثلاً انتخاب تیم‌های A و B با B و A متفاوت باشد)، از جایگشت استفاده می‌کنیم. اگر جابه‌جایی تأثیری در نتیجه نهایی نداشته باشد (مانند انتخاب اعضای یک کمیته)، مسئله از نوع ترکیب است. استفاده از کلماتی مانند "انتخاب"، "گزینش" و "تشکیل گروه" معمولاً به ترکیب اشاره دارند، در حالی که "مرتب کردن"، "چیدن" و "ردیف کردن" نشانه جایگشت هستند.\u003C\u002Fspan>\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n        \u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; background: #ffffff; border-radius: 8px; : \">\r\n            \u003Cstrong>❓ آیا می‌توانیم از فرمول ترکیب برای اعداد غیرصحیح یا منفی استفاده کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n            \u003Cspan style=\"display: inline-block; margin-top: 6px; color: #344054; : \">فرمول استاندارد ترکیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> برای اعداد طبیعی (یا به طور کلی اعداد صحیح نامنفی) تعریف شده است. برای اعداد منفی یا غیرصحیح، تعمیم‌هایی مانند ترکیب‌های اویلر وجود دارد که در ریاضیات پیشرفته کاربرد دارد، اما در سطح دبیرستان و مسائل پایه، تنها برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n \\ge r \\ge 0$\u003C\u002Fspan> معنا دارد.\u003C\u002Fspan>\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد در بسط دوجمله‌ای\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        یکی از مهم‌ترین کاربردهای فرمول ترکیب، در بسط دوجمله‌ای‌ها\u003Csup id=\"footnote-ref4\">4\u003C\u002Fsup> است. طبق قضیهٔ بسط دوجمله‌ای:\r\n        \u003C\u002Fp>\u003Cdiv style=\"margin: 8px 0; text-align: center; : \">\r\n            \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$(x+y)^n = \\sum_{r=0}^{n} \\binom{n}{r} x^{n-r} y^{r}$\u003C\u002Fspan>\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n        برای مثال، بسط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(a+b)^4$\u003C\u002Fspan> با استفاده از ضرایب ترکیب (که در مثلث خیام نیز دیدیم) به صورت زیر است:\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$\u003C\u002Fspan>. ضرایب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1, 4, 6, 4, 1\u003C\u002Fspan> همان مقادیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{4}{0}, \\binom{4}{1}, \\dots, \\binom{4}{4}$\u003C\u002Fspan> هستند.\r\n    \r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n        فرمول ترکیب یکی از پایه‌ای‌ترین ابزارهای شمارش در ریاضیات است. با درک صحیح تفاوت آن با جایگشت و تسلط بر خواصی مانند خاصیت مکملی و رابطه بازگشتی، می‌توان مسائل پیچیده‌ای از قبیل تعداد حالت‌های ممکن در قرعه‌کشی‌ها، تشکیل کمیته‌ها، انتخاب تیم‌های ورزشی و حتی محاسبه ضرایب بسط دوجمله‌ای را به سادگی حل کرد. این فرمول نه تنها در ریاضیات محض، بلکه در علوم کامپیوتر، آمار و احتمال و بسیاری از شاخه‌های مهندسی کاربرد فراوان دارد و درک آن برای هر دانش‌آموز دبیرستانی ضروری است.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 4px 0; : \">\u003Csup id=\"footnote1\">1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>فاکتوریل (Factorial)\u003C\u002Fstrong>: حاصل‌ضرب تمام اعداد صحیح مثبت از 1 تا n که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n!$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود. برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n=0$\u003C\u002Fspan> مقدار آن برابر 1 تعریف می‌گردد.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 4px 0; : \">\u003Csup id=\"footnote2\">2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>جایگشت (Permutation)\u003C\u002Fstrong>: تعداد روش‌های مرتب‌کردن r شیء از n شیء متمایز که در آن ترتیب اهمیت دارد. فرمول: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(n,r) = \\frac{n!}{(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 4px 0; : \">\u003Csup id=\"footnote3\">3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>مثلث خیام (Khayyam Triangle)\u003C\u002Fstrong>: آرایش مثلثی از ضرایب بسط دوجمله‌ای که در ایران به نام حکیم عمر خیام و در غرب به نام پاسکال (Pascal's Triangle) شناخته می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 4px 0; : \">\u003Csup id=\"footnote4\">4\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>بسط دوجمله‌ای (Binomial Expansion)\u003C\u002Fstrong>: بسط توان nام یک عبارت دو جمله‌ای مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(x+y)^n$\u003C\u002Fspan> که ضرایب آن از روی ترکیب‌ها محاسبه می‌شوند.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"فرمول ترکیب","ریاضی دهم","پایه دهم",0,144,"2026-03-12 19:12:21","2026-03-23 20:52:54","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F21","20:52 1405\u002F01\u002F3",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]