[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12014":193,"$fXaJh-o25PpxtdurvHvnBwYXJwxb5U9YtNdEutO9b8EE":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":24,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},12014,1168,1182,2582,"تعداد ترکیب‌های rتایی از n شیء متمایز: تعداد انتخاب‌های rتایی بدون ترتیب که با C(n,r) نمایش داده می‌شود",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F12014KM9M4JjJ8EutbAYZmTHd_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"مقاله آموزشی ترکیبیات\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n    \u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">انتخاب‌های بدون ترتیب: بررسی ترکیب در ریاضیات\u003C\u002Fh2>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">اصول شمارش، فرمول‌ها و کاربردهای ترکیب (Combination) در مسائل دنیای واقعی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n        \u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">خلاصه:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله با مفهوم ترکیب\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> (ترکیب‌های \u003Cem>r\u003C\u002Fem>تایی از \u003Cem>n\u003C\u002Fem> شیء متمایز) آشنا می‌شویم. تفاوت آن با جایگشت\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>، فرمول محاسبه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">C(n, r)\u003C\u002Fspan>، ویژگی‌های مهم و کاربردهای آن در مسائل روزمره مانند تشکیل کمیته، آنالیز قرعه‌کشی و انتخاب تیم بررسی خواهد شد. هدف، درک شهودی و محاسباتی این مفهوم پایه‌ای در ترکیبیات\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> است.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مفهوم ترکیب در مقابل جایگشت\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">تفاوت اساسی بین ترکیب و جایگشت در \u003Cstrong>نقش ترتیب\u003C\u002Fstrong> است. در یک جایگشت، چیدمان اشیا اهمیت دارد، اما در یک ترکیب، تنها انتخاب اعضا مهم است و ترتیب آن‌ها نقشی ندارد. برای روشن شدن موضوع، به مثال زیر توجه کنید:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #ffb600; color: #24292f; margin-left: 8px; : \">مثال\u003C\u002Fspan>\r\n        فرض کنید سه کتاب با عنوان‌های ریاضی، فیزیک و شیمی داریم. می‌خواهیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan> کتاب را برای اهدا انتخاب کنیم.\r\n        \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n            \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">حالت جایگشت:\u003C\u002Fstrong> اگر ترتیب اهمیت داشته باشد (مثلاً کتاب اول به عنوان جایزه اول و کتاب دوم به عنوان جایزه دوم)، انتخاب‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(ریاضی، فیزیک)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(فیزیک، ریاضی)\u003C\u002Fspan> دو حالت متفاوت محسوب می‌شوند.\u003C\u002Fli>\r\n            \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">حالت ترکیب:\u003C\u002Fstrong> اگر فقط به این فکر کنیم که کدام دو کتاب اهدا شود، مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">{ریاضی، فیزیک}\u003C\u002Fspan> دقیقاً همان مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">{فیزیک، ریاضی}\u003C\u002Fspan> است. این دو یک انتخاب واحد محسوب می‌شوند.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003C\u002Ful>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">به عبارت دیگر، ترکیب یک \u003Cstrong>زیرمجموعه\u003C\u002Fstrong> با اندازه مشخص از یک مجموعه بزرگتر است. نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">C(n, r)\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; unicode-bidi: isolate; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> دقیقاً تعداد این زیرمجموعه‌ها را نشان می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">فرمول محاسبه و استدلال آن\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">فرمول استاندارد برای محاسبه تعداد ترکیب‌های \u003Cem>r\u003C\u002Fem>تایی از \u003Cem>n\u003C\u002Fem> شیء متمایز به صورت زیر است:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"direction: ltr; text-align: center; margin: 8px 0 16px 0; background: #f9f9f9; padding: 8px; border-radius: 8px; : \">\r\n        \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$C(n, r) = \\binom{n}{r} = \\frac{n!}{r!(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">برای درک این فرمول، ابتدا به سراغ جایگشت می‌رویم. تعداد راه‌های انتخاب و مرتب کردن \u003Cem>r\u003C\u002Fem> شیء از \u003Cem>n\u003C\u002Fem> شیء (که همان جایگشت \u003Cem>r\u003C\u002Fem>تایی است) برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"direction: ltr; text-align: center; margin: 8px 0 16px 0; background: #f9f9f9; padding: 8px; border-radius: 8px; : \">\r\n        \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$P(n, r) = \\frac{n!}{(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">در این تعداد، هر مجموعه \u003Cem>r\u003C\u002Fem>تایی انتخاب شده، به تعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> بار (همه‌ی ترتیب‌های ممکن آن مجموعه) شمرده شده است. از آنجایی که در ترکیب، ترتیب اهمیت ندارد، باید این تعداد را بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> تقسیم کنیم تا هر مجموعه فقط یک بار شمرده شود:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"direction: ltr; text-align: center; margin: 8px 0 16px 0; background: #f9f9f9; padding: 8px; border-radius: 8px; : \">\r\n        \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$C(n, r) = \\frac{P(n, r)}{r!} = \\frac{\\frac{n!}{(n-r)!}}{r!} = \\frac{n!}{r!(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">برای نمونه، تعداد راه‌های انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan> کتاب از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> کتاب (مثال قبل) برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"direction: ltr; text-align: center; margin: 8px 0 16px 0; background: #f9f9f9; padding: 8px; border-radius: 8px; : \">\r\n        \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$C(3, 2) = \\frac{3!}{2!(3-2)!} = \\frac{3 \\times 2 \\times 1}{2 \\times 1 \\times 1!} = \\frac{6}{2} = 3$\u003C\u002Fspan>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">این سه حالت عبارتند از: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">{ریاضی، فیزیک}\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">{ریاضی، شیمی}\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">{فیزیک، شیمی}\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی: از تشکیل کمیته تا احتمال\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">مفهوم ترکیب کاربردهای بسیار گسترده‌ای در زندگی روزمره و علوم مختلف دارد. در ادامه به چند نمونه عینی اشاره می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; margin: 0 0 16px 0; : \">\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">تشکیل کمیته:\u003C\u002Fstrong> از بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">10\u003C\u002Fspan> نفر، می‌خواهیم یک کمیته \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> نفره تشکیل دهیم. تعداد حالت‌های ممکن برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(10, 4) = 210$\u003C\u002Fspan> حالت. (ترتیب اعضا در کمیته معمولاً اهمیتی ندارد).\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">آنالیز قرعه‌کشی:\u003C\u002Fstrong> در یک قرعه‌کشی، برای بردن جایزه بزرگ باید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">6\u003C\u002Fspan> عدد از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">49\u003C\u002Fspan> عدد را به درستی انتخاب کنید. تعداد کل حالات ممکن برای ترکیب اعداد برنده (بدون توجه به ترتیب) برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(49, 6)$\u003C\u002Fspan> که عدد بسیار بزرگی است و شانس برنده شدن را نشان می‌دهد.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">انتخاب تیم ورزشی:\u003C\u002Fstrong> یک مربی می‌خواهد از بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">15\u003C\u002Fspan> بازیکن، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">11\u003C\u002Fspan> نفر را برای بازی اصلی انتخاب کند. تعداد ترکیب‌های ممکن برای انتخاب تیم اصلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(15, 11)$\u003C\u002Fspan> است که با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(15, 4)$\u003C\u002Fspan> برابری می‌کند.\u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #ffb600; color: #24292f; margin-left: 8px; : \">مثال کاربردی\u003C\u002Fspan>\r\n        فرض کنید در یک کلاس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">12\u003C\u002Fspan> نفره، می‌خواهیم یک گروه پروژه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> نفره و یک گروه پروژه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> نفره دیگر (از بین باقیمانده‌ها) تشکیل دهیم. تعداد حالت‌ها: ابتدا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(12, 3)$\u003C\u002Fspan> راه برای انتخاب گروه اول، سپس از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">9\u003C\u002Fspan> نفر باقیمانده، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(9, 4)$\u003C\u002Fspan> راه برای انتخاب گروه دوم. پس کل حالت‌ها برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(12, 3) \\times C(9, 4)$\u003C\u002Fspan>.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">ویژگی‌های کلیدی ترکیب‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">تعداد ترکیب‌ها دارای ویژگی‌های جالبی است که محاسبات را ساده‌تر می‌کند:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول ویژگی‌های ترکیب\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n        \u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n            \u003Cthead>\r\n                \u003Ctr>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">توضیح\u003C\u002Fth>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Fthead>\r\n            \u003Ctbody>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تقارن (ویژنه)\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$C(n, r) = C(n, n-r)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> عضو برای حضور، معادل انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n-r\u003C\u002Fspan> عضو برای غیبت است.\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">حالت‌های حدی\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$C(n, 0) = C(n, n) = 1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تنها یک راه برای انتخاب هیچ‌کدام یا همه‌ی اشیا وجود دارد.\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">حالت پایه\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$C(n, 1) = n$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">انتخاب یک عضو از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> عضو، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> راه دارد.\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">فرمول بازگشتی (مثلث خیام-پاسکال)\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">اساس ساخت مثلث خیام-پاسکال. یک عنصر خاص یا در انتخاب هست \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(r-1)$\u003C\u002Fspan> یا نیست \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(r)$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Ftbody>\r\n        \u003C\u002Ftable>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">❓ سوال 1:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(15, r) = C(15, 7)$\u003C\u002Fspan> باشد، مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> چه می‌تواند باشد؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; color: #344054; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">✅ پاسخ:\u003C\u002Fstrong> با توجه به ویژگی تقارن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(n, r) = C(n, n-r)$\u003C\u002Fspan>، داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r = 7$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n-r = 7$\u003C\u002Fspan>. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan> می‌تواند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">7\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">8\u003C\u002Fspan> باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">❓ سوال 2:\u003C\u002Fstrong> چرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(n, r)$\u003C\u002Fspan> همیشه یک عدد صحیح است، در حالی که فرمول شامل تقسیم بر فاکتوریل است؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 16px 0; color: #344054; : \">\u003Cstrong style=\"✅ پاسخ: < \u002Fstrong&gt: ; : ; : ; : ; چون &lt: ; : ; : ; : ; span style=: \" direction:ltr=\"\">$C(n, r)$ در اصل تعداد راه‌های شمارش مجموعه‌هاست که باید یک عدد صحیح باشد. از نظر ریاضی، فاکتوریل‌ها در مخرج همواره به گونه‌ای با صورت ساده می‌شوند که حاصل یک عدد طبیعی باشد. این موضوع با استدلال ترکیبیاتی تضمین می‌شود.\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">❓ سوال 3:\u003C\u002Fstrong> در یک مسابقه، به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">10\u003C\u002Fspan> نفر اول، مدال‌های طلا، نقره و برنز داده می‌شود. آیا تعداد حالت‌های توزیع مدال‌ها با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(10, 3)$\u003C\u002Fspan> محاسبه می‌شود؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 0 0; color: #344054; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">✅ پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. زیرا در توزیع مدال‌ها، ترتیب (اینکه چه کسی طلا و چه کسی نقره می‌گیرد) اهمیت دارد. بنابراین این مسئله یک جایگشت است و تعداد حالت‌ها برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(10, 3)$\u003C\u002Fspan> است. اگر هدف فقط انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> نفر برای دریافت جایزه‌ای یکسان بود، آنگاه از ترکیب استفاده می‌کردیم.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n        \u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">نکته پایانی:\u003C\u002Fstrong> مفهوم ترکیب به عنوان یکی از ارکان اصلی علم شمارش، ابزاری قدرتمند برای تحلیل موقعیت‌هایی است که در آنها "گروه" و "مجموعه" اهمیت دارد، نه "ردیف" و "ترتیب". درک صحیح این مفهوم، سنگ بنای یادگیری مباحث پیشرفته‌تری مانند احتمال، آمار و بسط دو جمله‌ای است.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 4px 0; : \">\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>ترکیب (Combination):\u003C\u002Fstrong> انتخاب تعدادی از اعضای یک مجموعه بدون در نظر گرفتن ترتیب.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 4px 0; : \">\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>جایگشت (Permutation):\u003C\u002Fstrong> مرتب‌سازی تعدادی از اعضای یک مجموعه در یک ترتیب خاص.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 0 0; : \">\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>ترکیبیات (Combinatorics):\u003C\u002Fstrong> شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعه روش‌های شمارش، ترکیب و چیدمان اشیا می‌پردازد.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"تعداد ترکیب‌های rتایی از n شیء متمایز","ریاضی دهم","پایه دهم",0,"2026-03-12 18:49:22","2026-03-24 10:20:37","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F21","10:20 1405\u002F01\u002F4",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,239,245,254,262,270,278,286,294,302,310],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":230},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":240,"title":224,"cat":199,"pic":241,"up_date":242,"title_url":227,"url":243,"legacy_url":244,"cat_title":211,"update_jalali":230},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":246,"title":247,"cat":199,"pic":248,"up_date":249,"title_url":250,"url":251,"legacy_url":252,"cat_title":211,"update_jalali":253},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":255,"title":256,"cat":199,"pic":257,"up_date":258,"title_url":259,"url":260,"legacy_url":261,"cat_title":211,"update_jalali":253},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":263,"title":264,"cat":199,"pic":265,"up_date":266,"title_url":267,"url":268,"legacy_url":269,"cat_title":211,"update_jalali":253},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":271,"title":272,"cat":199,"pic":273,"up_date":274,"title_url":275,"url":276,"legacy_url":277,"cat_title":211,"update_jalali":253},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":279,"title":280,"cat":199,"pic":281,"up_date":282,"title_url":283,"url":284,"legacy_url":285,"cat_title":211,"update_jalali":253},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":287,"title":288,"cat":199,"pic":289,"up_date":290,"title_url":291,"url":292,"legacy_url":293,"cat_title":211,"update_jalali":253},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":295,"title":296,"cat":199,"pic":297,"up_date":298,"title_url":299,"url":300,"legacy_url":301,"cat_title":211,"update_jalali":253},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":303,"title":304,"cat":199,"pic":305,"up_date":306,"title_url":307,"url":308,"legacy_url":309,"cat_title":211,"update_jalali":253},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":311,"title":312,"cat":199,"pic":313,"up_date":314,"title_url":315,"url":316,"legacy_url":317,"cat_title":211,"update_jalali":253},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]