[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12013":193,"$fg_7Sg-bh5J4viBWZGYxFbRwezNIgwqhqyvvu2NZnLpE":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12013,1168,1182,2582,"زیرمجموعه rعضوی: مجموعه‌ای شامل r عضو از یک مجموعه nعضوی که ترتیب در آن مطرح نیست",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F12013JBBq08uLhubVvkPBKJe4_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"مقاله آموزشی زیرمجموعه r عضوی\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n    \u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">زیرمجموعه‌ی r عضوی: سفری به دنیای انتخاب‌های بدون ترتیب\u003C\u002Fh2>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">مفاهیم پایه، فرمول‌ها، مثال‌های ملموس و کاربردهای شگفت‌انگیز ترکیب در ریاضیات و زندگی روزمره\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">خلاصه‌ی سریع\u003C\u002Fspan>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 8px 0 0 0; : \">در این مقاله به زبان ساده با مفهوم \u003Cstrong>زیرمجموعه‌ی r عضوی\u003C\u002Fstrong> یا \u003Cstrong>ترکیب\u003C\u002Fstrong> (Combination) آشنا می‌شویم. یاد می‌گیریم که چگونه تعداد راه‌های انتخاب چند عضو از یک مجموعه را وقتی \u003Cstrong>ترتیب مهم نیست\u003C\u002Fstrong> محاسبه کنیم. با معرفی \u003Cstrong>فاکتوریل\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>فرمول ترکیب\u003C\u002Fstrong>، مثال‌های متنوعی از زندگی روزمره و مسائل ریاضی حل خواهیم کرد و در نهایت به سراغ \u003Cstrong>ترکیب با تکرار\u003C\u002Fstrong> می‌رویم تا دید کامل‌تری به این مبحث کاربردی پیدا کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۱. ماجرای انتخاب‌ها: چه‌وقت ترتیب اهمیت ندارد؟\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>فرض کنید می‌خواهید از بین ۵ کتاب متفاوت روی قفسه، ۳ تا را برای مطالعه در تعطیلات انتخاب کنید. آیا برای شما مهم است که اول کدام کتاب را بردارید؟ معمولاً خیر! مهم این است که کدام مجموعه ۳ تایی از کتاب‌ها را در اختیار دارید. در ریاضیات، به هر انتخاب غیرمرتب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> عضو از یک مجموعه‌ی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> عضوی، یک \u003Cstrong>ترکیب\u003C\u002Fstrong> یا \u003Cstrong>زیرمجموعه‌ی r عضوی\u003C\u002Fstrong> می‌گویند. این مفهوم در مقابل \u003Cstrong>جایگشت\u003C\u002Fstrong> (Permutation) قرار می‌گیرد که در آن ترتیب انتخاب، تعیین‌کننده است.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">نکته\u003C\u002Fspan>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 8px 0 0 0; : \">برای تشخیص این که مسئله از نوع ترکیب است یا جایگشت، از خود بپرسید: «اگر جابه‌جایی اعضای انتخاب‌شده، یک حالت جدید به حساب بیاید یا خیر؟» اگر جابه‌جایی اعضا حالت جدیدی ایجاد نکند، با ترکیب سر و کار داریم. به عنوان مثال، انتخاب تیم ۳ نفره از یک کلاس یک ترکیب است، اما انتخاب نفرات اول تا سوم یک جایگشت.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp>نماد ریاضی برای نمایش تعداد این زیرمجموعه‌ها، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(n,r)$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">${}_nC_r$\u003C\u002Fspan> است و آن را «\u003Cstrong>انتخاب r از n\u003C\u002Fstrong>» می‌خوانیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۲. فاکتوریل\u003Csup id=\"ref1\" style=\"font-size: 10px; vertical-align: super; : \">[1]\u003C\u002Fsup>: ابرقهرمان دنیای شمارش\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>پیش از آن که به سراغ فرمول اصلی برویم، باید با مفهوم \u003Cstrong>فاکتوریل\u003C\u002Fstrong> آشنا شویم. فاکتوریل یک عدد طبیعی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> که با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n!$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود، حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از ۱ تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp style=\"margin-right: 20px; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n! = n \\times (n-1) \\times (n-2) \\times \\dots \\times 2 \\times 1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>برای مثال:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n        \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3! = 3 \\times 2 \\times 1 = 6$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5! = 5 \\times 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1 = 120$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n    \u003Cp>یک قرارداد مهم هم داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0! = 1$\u003C\u002Fspan>. فاکتوریل به ما اجازه می‌دهد تا فرمول‌های ترکیبیات را به شکلی زیبا و خلاصه بنویسیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۳. فرمول طلایی ترکیب\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>برای محاسبه‌ی تعداد زیرمجموعه‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> عضوی از یک مجموعه‌ی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> عضوی (یا به عبارت دیگر، تعداد راه‌های انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> شیء از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> شیء بدون در نظر گرفتن ترتیب)، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">فرمول اصلی\u003C\u002Fspan>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 8px 0 0 0; text-align: center; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{n}{r} = \\frac{n!}{r! \\times (n-r)!}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp>این فرمول چطور به دست می‌آید؟ ابتدا تعداد حالات انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> شیء به ترتیب (جایگشت) برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(n,r) = \\frac{n!}{(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>. اما در این حالت، هر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> شیء انتخاب‌شده را به تعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> بار شمرده‌ایم (چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> شیء به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> طریق می‌توانند جابه‌جا شوند). برای حذف این اضافه‌شماری، تعداد جایگشت‌ها را بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> تقسیم می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۴. مثال‌های علمی و روزمره (از کلاس درس تا تخته نرد)\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>بیایید با چند مثال، کاربرد این فرمول را بهتر درک کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>انتخاب تیم پروژه:\u003C\u002Fstrong> استاد می‌خواهد از بین ۱۰ دانشجو، ۲ نفر را برای یک پروژه‌ی ویژه انتخاب کند. به چند طریق می‌تواند این کار را انجام دهد؟ ترتیب انتخاب اهمیتی ندارد (تیم A و B با تیم B و A یکی است). پس تعداد ترکیب‌ها برابر است با:\r\n            \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{10}{2} = \\frac{10!}{2! \\times 8!} = \\frac{10 \\times 9}{2 \\times 1} = 45$\u003C\u002Fspan> روش.\r\n        \u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>دست در تخته نرد:\u003C\u002Fstrong> در بازی تخته نرد، اگر ۴ مهرۀ همرنگ داشته باشیم، به چند طریق می‌توانیم ۲ تا از آن‌ها را انتخاب کنیم؟ این نیز یک ترکیب است: \r\n            \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2! \\times 2!} = \\frac{4 \\times 3}{2 \\times 1} = 6$\u003C\u002Fspan> حالت.\r\n        \u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>خرید بستنی:\u003C\u002Fstrong> یک بستنی‌فروشی ۵ طعم مختلف دارد. اگر بخواهیم ۳ طعم را (بدون در نظر گرفتن ترتیب) انتخاب کنیم و در یک ظرف بریزیم، چند نوع ترکیب طعم داریم؟\r\n            \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{5}{3} = \\frac{5!}{3! \\times 2!} = \\frac{5 \\times 4}{2 \\times 1} = 10$\u003C\u002Fspan> نوع بستنی.\r\n        \u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۵. جدول مقایسه: ترکیب در برابر جایگشت\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه ترکیب و جایگشت\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n        \u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n            \u003Cthead>\r\n                \u003Ctr>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ترکیب (زیرمجموعه‌ی r عضوی)\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">جایگشت\u003C\u002Fth>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Fthead>\r\n            \u003Ctbody>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cstrong>ترتیب اهمیت دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">خیر\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">بله\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cstrong>فرمول\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r} = \\frac{n!}{r!(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(n,r) = \\frac{n!}{(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cstrong>مثال (انتخاب ۲ نفر از ۴ نفر)\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">انتخاب دو نماینده: {احمد، سارا} با {سارا، احمد} یکی است. \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{4}{2}=6$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">انتخاب نفر اول و دوم: {احمد، سارا} با {سارا، احمد} متفاوت است. \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(4,2)=12$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Ftbody>\r\n        \u003C\u002Ftable>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۶. گامی فراتر: ترکیب با تکرار\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>گاهی اوقات مجاز هستیم که اعضا را با تکرار انتخاب کنیم. مثلاً می‌خواهیم از بین ۳ نوع میوه (سیب، پرتقال، موز) یک سبد ۴ تایی پر کنیم. در اینجا می‌توانیم چندتا سیب یا چندتا پرتقال داشته باشیم و ترتیب هم مهم نیست. به این حالت \u003Cstrong>ترکیب با تکرار\u003C\u002Fstrong> می‌گویند.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>فرمول آن کمی متفاوت است. تعداد ترکیب‌های با تکرار برای انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> شیء از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> نوع شیء (با بینهایت یا حداقل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> تا از هر نوع) برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0; text-align: center; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{n+r-1}{r}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp>برای مثال، تعداد راه‌های انتخاب ۴ میوه از ۳ نوع، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{3+4-1}{4} = \\binom{6}{4} = 15$\u003C\u002Fspan> راه است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۷. چالش‌های مفهومی (پرسش و پاسخ)\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; font-weight: 700; color: #344054; : \">❓ چرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> همیشه با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{n-r}$\u003C\u002Fspan> برابر است؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">این یک ویژگی متقارن است. انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> عضو برای حضور در زیرمجموعه، دقیقاً معادل انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n-r\u003C\u002Fspan> عضو برای غیبت در زیرمجموعه است. به عبارت دیگر، تعداد راه‌های انتخاب اعضای تیم با تعداد راه‌های انتخاب اعضای ذخیره برابر است.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; font-weight: 700; color: #344054; : \">❓ اگر در یک مسئله، ترتیب نیمی از انتخاب مهم باشد و نیمی دیگر مهم نباشد، چه باید کرد؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">در این حالت، مسئله را به مراحل ترکیبی و جایگشتی تقسیم می‌کنیم. مثلاً می‌خواهیم از ۱۰ نفر، یک تیم ۳ نفره و سپس یک کاپیتان برای آن انتخاب کنیم. ابتدا ترکیب تیم ۳ نفره (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{10}{3}$\u003C\u002Fspan>) و سپس از بین این ۳ نفر، یک کاپیتان (۳ حالت) انتخاب می‌کنیم. جواب نهایی حاصلضرب این دو است.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; font-weight: 700; color: #344054; : \">❓ آیا فرمول ترکیب در ماشین‌حساب و نرم‌افزارهایی مثل اکسل هم وجود دارد؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0; : \">بله، در اکسل تابعی به نام \u003Cstrong>COMBIN\u003C\u002Fstrong> دقیقاً همین کار را انجام می‌دهد. با وارد کردن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">=COMBIN(n, r)\u003C\u002Fspan> نتیجه را محاسبه می‌کند. این تابع در محاسبات آماری و مهندسی بسیار کاربردی است.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">نگاه نهایی\u003C\u002Fspan>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 8px 0 0 0; : \">مفهوم زیرمجموعه‌ی r عضوی یا ترکیب، یکی از پایه‌های اصلی علم ترکیبیات و احتمال است. با درک تفاوت آن با جایگشت و تسلط بر فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r} = \\frac{n!}{r!(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>، می‌توانید بسیاری از مسائل شمارشی را در ریاضیات، علوم کامپیوتر، آمار و حتی تصمیم‌گیری‌های روزمره به راحتی حل کنید. این ابزار قدرتمند به ما نشان می‌دهد که چگونه می‌توان با نظم و قانون، تعداد حالت‌های ممکن در یک انتخاب ساده را محاسبه کرد.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 0; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 4px 0; : \">\u003Csup id=\"ref1\" style=\"font-size: 10px; : \">[1]\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>فاکتوریل (Factorial):\u003C\u002Fstrong> حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از ۱ تا n که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n!$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود. برای مثال \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5! = 5 \\times 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1 = 120$\u003C\u002Fspan>. فاکتوریل صفر نیز برابر با ۱ تعریف می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0; : \">\u003Csup>[2]\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>ترکیب با تکرار (Combination with Repetition):\u003C\u002Fstrong> حالتی از انتخاب که در آن امکان انتخاب مکرر یک عضو وجود دارد. فرمول آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n+r-1}{r}$\u003C\u002Fspan> است و برای مسائلی مانند انتخاب چند قلم کالا از چند نوع کالا (با موجودی نامحدود) کاربرد دارد.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"زیرمجموعه rعضوی","ریاضی دهم","پایه دهم",0,130,"2026-03-12 18:28:03","2026-03-23 20:53:40","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F21","20:53 1405\u002F01\u002F3",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]