[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11975":193,"$fpZAmI-j5DUgAIJdpC6s45iaP3hV3MJjYHyGgi6Jy60A":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":153,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},11975,1168,1182,2582,"اصل جمع: اگر یک کار با یکی از چند روش ناسازگار انجام شود، تعداد کل حالت‌ها برابر جمع تعداد حالت‌های هر روش است",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVrW3vIhZQm09sHjBQ38j_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"اصل شمارش: اصل جمع\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">اصل شمارش: اصل جمع (قاعده جمع)\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">کاربرد قاعده جمع در شمارش حالت‌های ممکن برای انتخاب‌های روزمره و مسائل ترکیبیاتی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">خلاصه:\u003C\u002Fstrong> اصل جمع یکی از پایه‌ای‌ترین اصول علم شمارش (ترکیبیات) است. اگر برای انجام یک کار، چند روش مختلف و ناسازگار (غیرهم‌زمان) وجود داشته باشد، تعداد کل حالت‌های ممکن برای انجام آن کار برابر است با مجموع تعداد حالت‌های هر روش. این اصل با مفهوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">"یا"\u003C\u002Fspan> در منطق گره خورده و در انتخاب‌های روزمره، برنامه‌ریزی و حل مسائل ریاضی کاربرد گسترده‌ای دارد. در این مقاله با مثال‌های متنوع و جدول، کاربرد اصل جمع را در موقعیت‌های مختلف بررسی می‌کنیم.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۱. مفهوم اصلی و نمادگذاری در اصل جمع\u003C\u002Fh3>\r\n\r\nاصل جمع که با نام \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">قاعده جمع\u003C\u002Fspan> نیز شناخته می‌شود، می‌گوید: اگر کاری به دو روش ناسازگار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">A\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">B\u003C\u002Fspan> قابل انجام باشد، به‌گونه‌ای که روش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">A\u003C\u002Fspan> دارای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">m\u003C\u002Fspan> حالت و روش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">B\u003C\u002Fspan> دارای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> حالت باشد و این دو روش هیچ اشتراکی با هم نداشته باشند (نتوانند هم‌زمان اتفاق بیفتند)، آن‌گاه تعداد کل حالت‌های ممکن برای انجام آن کار برابر است با:\r\n\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$ m + n $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\nبه بیان ساده‌تر، هرگاه در یک مسئله با کلمه کلیدی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">"یا"\u003C\u002Fspan> مواجه شدیم که انتخاب‌ها را از هم جدا می‌کند، به احتمال زیاد با اصل جمع سر و کار داریم. برای نمونه: «یک دانش‌آموز می‌خواهد یک کتاب داستان \u003Cstrong>یا\u003C\u002Fstrong> یک کتاب علمی بخرد» یعنی انتخاب از میان دو دسته مجزا.\r\n\r\nنکته بسیار مهم در به‌کارگیری اصل جمع، \u003Cstrong>ناسازگار بودن\u003C\u002Fstrong> روش‌ها است. اگر روش‌ها باهم تداخل داشته باشند (دارای حالت‌های مشترک باشند)، نمی‌توانیم مستقیماً آن‌ها را جمع کنیم و باید از اصل \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">شامل و عدم شمول\u003C\u002Fspan> (اصل جمع با اشتراک) استفاده کنیم.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۲. کاربرد اصل جمع در انتخاب‌های روزمره و منوها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\nیکی از ساده‌ترین جاهایی که اصل جمع خود را نشان می‌دهد، انتخاب‌های یک فهرست (منو) است. فرض کنید در یک رستوران، برای نوشیدنی می‌توانید بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۳\u003C\u002Fspan> نوع نوشابه گازدار و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲\u003C\u002Fspan> نوع آب‌میوه طبیعی یکی را انتخاب کنید. اگر بخواهید فقط یک نوشیدنی سفارش دهید، چند گزینه دارید؟\r\n\r\n\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">تعداد کل = ۳ + ۲ = ۵ گزینه\u003C\u002Fspan>\r\n\r\nاین یک مثال ساده و ملموس از اصل جمع است. در حقیقت، انتخاب شما دو روش ناسازگار دارد: انتخاب از میان نوشابه‌ها \u003Cstrong>یا\u003C\u002Fstrong> انتخاب از میان آب‌میوه‌ها. این دو روش با هم تداخل ندارند، زیرا یک گزینه نمی‌تواند هم نوشابه باشد و هم آب‌میوه.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">✅ نکته:\u003C\u002Fstrong> اصل جمع را می‌توان به بیش از دو روش نیز تعمیم داد. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">k\u003C\u002Fspan> روش ناسازگار برای انجام یک کار وجود داشته باشد و روش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">i\u003C\u002Fspan>ام دارای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n_i\u003C\u002Fspan> حالت باشد، تعداد کل حالت‌ها برابر است با:\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$ n_1 + n_2 + \\dots + n_k $\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۳. کاربرد عملی: برنامه‌ریزی سفر و مسیرهای ممکن\u003C\u002Fh3>\r\n\r\nتصور کنید می‌خواهید از شهر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">A\u003C\u002Fspan> به شهر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">B\u003C\u002Fspan> سفر کنید. برای این سفر، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲\u003C\u002Fspan> شرکت هواپیمایی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۳\u003C\u002Fspan> پرواز مختلف، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱\u003C\u002Fspan> شرکت قطار با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲\u003C\u002Fspan> قطار و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۴\u003C\u002Fspan> شرکت اتوبوس‌رانی هر کدام با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱\u003C\u002Fspan> سرویس وجود دارد. اگر بخواهید فقط با یک وسیله نقلیه سفر کنید (یعنی یا هواپیما، یا قطار، یا اتوبوس)، چند گزینه پیش رو دارید؟\r\n\r\nبرای حل این مسئله، ابتدا تعداد گزینه‌های هر روش را محاسبه می‌کنیم:\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>هواپیما:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲\u003C\u002Fspan> شرکت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۳\u003C\u002Fspan> پرواز = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۶\u003C\u002Fspan> گزینه (نکته: انتخاب شرکت و پرواز با اصل ضرب محاسبه می‌شود، اما خودش یک روش مجزاست).\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>قطار:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱\u003C\u002Fspan> شرکت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲\u003C\u002Fspan> قطار = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲\u003C\u002Fspan> گزینه.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>اتوبوس:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۴\u003C\u002Fspan> شرکت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱\u003C\u002Fspan> سرویس = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۴\u003C\u002Fspan> گزینه.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\nاز آنجا که این سه روش (هواپیما، قطار، اتوبوس) با هم ناسازگارند (شما نمی‌توانید هم‌زمان هم با هواپیما و هم با قطار سفر کنید)، طبق اصل جمع، کل گزینه‌ها برابر است با:\r\n\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$ ۶ + ۲ + ۴ = ۱۲ $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\nشما \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱۲\u003C\u002Fspan> گزینه کلی برای سفر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">A\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">B\u003C\u002Fspan> دارید.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۴. مقایسه اصل جمع و اصل ضرب در یک نگاه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\nیکی از چالش‌های رایج دانش‌آموزان، تشخیص موقعیت استفاده از اصل جمع در مقابل اصل ضرب است. جدول زیر این دو اصل مهم را مقایسه می‌کند:\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه اصل جمع و اصل ضرب\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">اصل جمع (قاعده جمع)\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">اصل ضرب (قاعده ضرب)\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">کلمه کلیدی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; background: #dcfce7; color: #166534; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; : \">یا\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; background: #dbeafe; color: #1e3a8a; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; : \">و\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">نوع انتخاب\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">انتخاب از میان دسته‌های مختلف (انتخاب یک گزینه از بین همه)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">انتخاب گام‌های پشت سر هم (انتخاب ترکیبی از گزینه‌ها)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">رابطه روش‌ها\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">ناسازگار (هیچ اشتراکی ندارند)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مستقل (می‌توانند هر ترکیبی داشته باشند)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">عملیات ریاضی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$ m + n $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$ m \\times n $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۵. چالش‌های مفهومی و پرسش‌های متداول\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 12px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">❓ چالش ۱:\u003C\u002Fstrong> اگر دو روش برای انجام کاری داشته باشم که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۳\u003C\u002Fspan> حالت مشترک بین آن‌ها وجود داشته باشد، باز هم می‌توانم از اصل جمع استفاده کنم؟\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. در این حالت روش‌ها ناسازگار نیستند و دارای اشتراک‌اند. برای شمارش باید از اصل شمول و عدم شمول استفاده کنید:\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$ |A \\cup B| = |A| + |B| - |A \\cap B| $\u003C\u002Fspan>\r\nکه در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$ |A \\cap B| $\u003C\u002Fspan> تعداد حالت‌های مشترک است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 12px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">❓ چالش ۲:\u003C\u002Fstrong> در یک مسابقه، برای برنده‌شدن باید یا تیراندازی کنید \u003Cstrong>یا\u003C\u002Fstrong> شنا. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۵\u003C\u002Fspan> تفنگ مختلف و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۳\u003C\u002Fspan> استخر برای شنا وجود داشته باشد، آیا تعداد کل حالت‌های برنده‌شدن برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۵ + ۳ = ۸\u003C\u002Fspan> است؟\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، اگر انتخاب تفنگ و انتخاب استخر مستقل از هم باشند و شما فقط یکی از این دو رشته را برای برنده‌شدن انتخاب کنید. اما اگر برای برنده‌شدن نیاز باشد هم تیراندازی کنید و هم شنا (و هر کدام حالت‌های خاص خود را داشته باشند)، آن‌گاه باید از اصل ضرب استفاده کنید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$ ۵ \\times ۳ = ۱۵ $\u003C\u002Fspan> حالت.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">❓ چالش ۳:\u003C\u002Fstrong> اصل جمع فقط در ریاضیات کاربرد دارد یا در علوم دیگر هم استفاده می‌شود؟\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">پاسخ:\u003C\u002Fstrong> اصل جمع یک اصل پایه‌ای در شمارش است و در علوم کامپیوتر (برای شمارش الگوریتم‌ها)، آمار (تعیین فضای نمونه‌ای\u003Csup>[\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; : \">1\u003C\u002Fa>]\u003C\u002Fsup>)، زیست‌شناسی (شمارش صفات ژنتیکی) و حتی حقوق (بررسی گزینه‌های قانونی) کاربرد دارد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">نکته پایانی:\u003C\u002Fstrong> اصل جمع یک ابزار قدرتمند برای شمارش حالت‌های ممکن در موقعیت‌هایی است که با انتخاب‌های «یا»یی و مجزا روبرو هستیم. با تشخیص درست ناسازگاری روش‌ها و تفکیک آن از اصل ضرب، می‌توانید بسیاری از مسائل روزمره و درسی را به سادگی حل کنید. این اصل ساده، سنگ بنای علم ترکیبیات و مقدمه‌ای برای درک مباحث پیچیده‌تر مانند جایگشت\u003Csup>[\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; : \">2\u003C\u002Fa>]\u003C\u002Fsup> و ترکیب\u003Csup>[\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; : \">3\u003C\u002Fa>]\u003C\u002Fsup> است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 0; color: #667085; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>فضای نمونه‌ای (Sample Space):\u003C\u002Fstrong> در نظریه احتمال، مجموعه تمام پیامدهای ممکن یک آزمایش تصادفی را فضای نمونه‌ای می‌گویند. اصل جمع برای تعیین تعداد اعضای این فضا در پیشامدهای ناسازگار به کار می‌رود.\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>جایگشت (Permutation):\u003C\u002Fstrong> به تعداد حالات چیدن چند شیء کنار هم به ترتیب‌های مختلف گفته می‌شود.\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>ترکیب (Combination):\u003C\u002Fstrong> به تعداد حالات انتخاب چند شیء از یک مجموعه بدون در نظر گرفتن ترتیب انتخاب گفته می‌شود.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"اصل جمع","ریاضی دهم","پایه دهم",0,"2026-02-27 18:12:20","2026-07-15 01:51:17","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F8","1:51 1405\u002F04\u002F24",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,239,245,254,262,270,278,286,294,302,310],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":230},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":240,"title":224,"cat":199,"pic":241,"up_date":242,"title_url":227,"url":243,"legacy_url":244,"cat_title":211,"update_jalali":230},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":246,"title":247,"cat":199,"pic":248,"up_date":249,"title_url":250,"url":251,"legacy_url":252,"cat_title":211,"update_jalali":253},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":255,"title":256,"cat":199,"pic":257,"up_date":258,"title_url":259,"url":260,"legacy_url":261,"cat_title":211,"update_jalali":253},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":263,"title":264,"cat":199,"pic":265,"up_date":266,"title_url":267,"url":268,"legacy_url":269,"cat_title":211,"update_jalali":253},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":271,"title":272,"cat":199,"pic":273,"up_date":274,"title_url":275,"url":276,"legacy_url":277,"cat_title":211,"update_jalali":253},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":279,"title":280,"cat":199,"pic":281,"up_date":282,"title_url":283,"url":284,"legacy_url":285,"cat_title":211,"update_jalali":253},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":287,"title":288,"cat":199,"pic":289,"up_date":290,"title_url":291,"url":292,"legacy_url":293,"cat_title":211,"update_jalali":253},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":295,"title":296,"cat":199,"pic":297,"up_date":298,"title_url":299,"url":300,"legacy_url":301,"cat_title":211,"update_jalali":253},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":303,"title":304,"cat":199,"pic":305,"up_date":306,"title_url":307,"url":308,"legacy_url":309,"cat_title":211,"update_jalali":253},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":311,"title":312,"cat":199,"pic":313,"up_date":314,"title_url":315,"url":316,"legacy_url":317,"cat_title":211,"update_jalali":253},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]