[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11966":193,"$f50OEkXwgCkreET86xlVeuHSEHVZ05Q_21soOYLunmO0":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},11966,1168,1182,2582,"نماد (n r): نمادی برای تعداد زیرمجموعه‌های rعضوی یک مجموعه nعضوی (ترکیب)",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1DpOm0vkLHo8ummi1Sj9_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"آشنایی با نماد (n r) در ترکیبات\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n    \u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n r)\u003C\u002Fspan> : کلید گشایش قفل دنیای ترکیبات\u003C\u002Fh2>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">آشنایی با مفهوم تعداد زیرمجموعه‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan>عضوی از یک مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan>عضوی (ترکیب) و کاربردهای آن در زندگی روزمره و ریاضیات دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n        \u003Cstrong>خلاصه:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله با نماد پرکاربرد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n r)\u003C\u002Fspan> آشنا می‌شویم که در ریاضیات برای نمایش تعداد حالت‌های انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> عضو از یک مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan>عضوی (بدون در نظر گرفتن ترتیب) استفاده می‌شود. این مفهوم که با نام «ترکیب»\u003Cspan style=\"display: inline-block; vertical-align: super; font-size: 10px; : \">1\u003C\u002Fspan> شناخته می‌شود، پایه‌ای برای محاسبه احتمالات، ضرایب بسط دوجمله‌ای و بسیاری از مسائل روزمره است. با مثال‌های ساده و قابل درک، فرمول محاسبه آن را یاد می‌گیریم و کاربردهایش را در مسائل مختلف بررسی می‌کنیم.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">1. مفهوم زیرمجموعه و مسئله انتخاب\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>فرض کنید یک مجموعه از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> شیء متمایز داریم. می‌خواهیم بدانیم به چند طریق می‌توان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> شیء را از بین آنها انتخاب کرد، به‌طوری که \u003Cstrong>ترتیب انتخاب اهمیتی نداشته باشد\u003C\u002Fstrong>. این تعداد را با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n r)\u003C\u002Fspan> نشان می‌دهند. به عنوان مثال، از میان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۵\u003C\u002Fspan> کتاب مختلف، می‌خواهیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲\u003C\u002Fspan> کتاب را برای مطالعه انتخاب کنیم. حالت‌های مختلف انتخاب (که در آنها فقط نام کتاب‌ها مهم است، نه اینکه کدام اول خوانده شود) برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(۵ ۲)\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">? نکته فرمول\u003C\u002Fspan> مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n r)\u003C\u002Fspan> با استفاده از فاکتوریل\u003Cspan style=\"display: inline-block; vertical-align: super; font-size: 10px; : \">2\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید:\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$ (n r) = \\frac{n!}{r!(n-r)!} $\u003C\u002Fspan>\r\n        که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n! = n \\times (n-1) \\times \\dots \\times 1\u003C\u002Fspan>.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">2. جدول مقایسه: جایگشت در مقابل ترکیب\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسه جایگشت و ترکیب\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n        \u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n            \u003Cthead>\r\n                \u003Ctr>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مفهوم\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ترتیب مهم است؟\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نماد\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال (انتخاب ۲ کتاب از ۵)\u003C\u002Fth>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Fthead>\r\n            \u003Ctbody>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">جایگشت\u003Cspan style=\"display: inline-block; vertical-align: super; font-size: 10px; : \">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; color: #166534; : \">بله\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">P(n,r)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{n!}{(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲۰\u003C\u002Fspan> حالت (چیدن اول و دوم)\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">ترکیب\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; color: #991b1b; : \">خیر\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n r)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{n!}{r!(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱۰\u003C\u002Fspan> حالت (انتخاب مجموعه کتاب)\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Ftbody>\r\n        \u003C\u002Ftable>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">3. کاربردهای عملی نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n r)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>این نماد فقط یک مفهوم انتزاعی نیست، بلکه در بسیاری از موقعیت‌های واقعی به کار می‌آید. از تشکیل تیم‌های ورزشی تا احتمال برنده شدن در بازی‌ها. به مثال‌های زیر توجه کنید:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>انتخاب تیم پروژه:\u003C\u002Fstrong> استاد می‌خواهد از بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱۲\u003C\u002Fspan> دانشجو، یک تیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۴\u003C\u002Fspan> نفره برای پروژه انتخاب کند. تعداد تیم‌های ممکن برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(۱۲ ۴)$\u003C\u002Fspan>. اگر دانشجوها را متمایز در نظر بگیریم، این تعداد می‌شود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{12!}{4!8!}=495$\u003C\u002Fspan> تیم مختلف.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>لاتاری و شانس:\u003C\u002Fstrong> برای برنده شدن در یک لاتاری که باید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۶\u003C\u002Fspan> عدد از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۴۹\u003C\u002Fspan> عدد را درست حدس بزنید، تعداد کل حالت‌های ممکن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(۴۹ ۶)$\u003C\u002Fspan> است. احتمال برنده شدن با یک برگه، کسری با مخرج این عدد است.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>پیشنهاد منوی غذا:\u003C\u002Fstrong> یک رستوران \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۸\u003C\u002Fspan> نوع پیش‌غذا و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۵\u003C\u002Fspan> نوع غذای اصلی دارد. اگر بخواهید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۳\u003C\u002Fspan> پیش‌غذا و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲\u003C\u002Fspan> غذای اصلی انتخاب کنید، تعداد حالت‌ها برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(۸ ۳) \\times (۵ ۲)$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">4. خواص مهم و اتحادهای ترکیبیاتی\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n r)\u003C\u002Fspan> دارای ویژگی‌های جالبی است که محاسبات را ساده‌تر می‌کند. درک این ویژگی‌ها برای حل مسائل پیشرفته‌تر ضروری است.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">✨ ویژگی کلیدی\u003C\u002Fspan>\r\n        \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; margin: 8px 0 0 0; : \">\r\n            \u003Cli>\u003Cstrong>خاصیت مکمل:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$(n r) = (n n-r)$\u003C\u002Fspan>. انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> عضو معادل با انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n-r\u003C\u002Fspan> عضوی است که انتخاب نمی‌کنیم.\u003C\u002Fli>\r\n            \u003Cli>\u003Cstrong>اتحاد پاسکال:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$(n r) = (n-1 r-1) + (n-1 r)$\u003C\u002Fspan>. این فرمول پایه ساخت مثلث خیام-پاسکال است.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003C\u002Ful>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">5. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp>\u003Cstrong>❓ سوال ۱:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(n ۲) = ۱۰$\u003C\u002Fspan> باشد، مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> چند است؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; background: #ffffff; border-radius: 8px; : \">\r\n            \u003Cspan class=\"chip\" style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">پاسخ\u003C\u002Fspan> از فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$(n ۲) = \\frac{n(n-1)}{2}=10$\u003C\u002Fspan>، پس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n(n-1)=20$\u003C\u002Fspan>. با حل معادله درجه دوم، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n=5\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید (چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> مثبت است).\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n        \u003Cp>\u003Cstrong>❓ سوال ۲:\u003C\u002Fstrong> تفاوت بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n r)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">P(n,r)\u003C\u002Fspan> چیست؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; background: #ffffff; border-radius: 8px; : \">\r\n            \u003Cspan class=\"chip\" style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">پاسخ\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">P(n,r)\u003C\u002Fspan> (جایگشت) ترتیب قرارگیری عناصر مهم است، اما در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n r)\u003C\u002Fspan> (ترکیب) ترتیب اهمیتی ندارد. به عبارت دیگر، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$P(n,r) = (n r) \\times r!$\u003C\u002Fspan>.\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n        \u003Cp>\u003Cstrong>❓ سوال ۳:\u003C\u002Fstrong> چرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n ۰) = ۱\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n n) = ۱\u003C\u002Fspan> است؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; background: #ffffff; border-radius: 8px; : \">\r\n            \u003Cspan class=\"chip\" style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">پاسخ\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n ۰)\u003C\u002Fspan> به معنای انتخاب صفر عضو از یک مجموعه است. این کار فقط به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱\u003C\u002Fspan> طریق (انتخاب هیچ‌کدام) امکان‌پذیر است. \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n n)\u003C\u002Fspan> نیز به معنای انتخاب همه اعضا است که آن هم فقط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱\u003C\u002Fspan> حالت دارد. با استفاده از فرمول فاکتوریل نیز با قرارداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$۰! = ۱$\u003C\u002Fspan> این نتایج تأیید می‌شود.\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n        \u003Cstrong>نکته نهایی:\u003C\u002Fstrong> نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n r)\u003C\u002Fspan> یکی از ابزارهای پایه‌ای و در عین حال قدرتمند در ریاضیات گسسته است. درک صحیح آن نه تنها برای حل مسائل کتاب درسی، بلکه برای تحلیل موقعیت‌هایی که با انتخاب‌های بدون ترتیب سروکار داریم، به ما کمک می‌کند. از تشکیل کمیته‌ها تا محاسبه احتمالات در بازی‌ها، این نماد به ما نشان می‌دهد که چگونه می‌توان تعداد حالت‌های ممکن را به طور سیستماتیک شمارش کرد.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cp>\u003Cspan style=\"display: inline-block; vertical-align: super; font-size: 10px; : \">1\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>ترکیب (Combination):\u003C\u002Fstrong> انتخاب تعدادی عضو از یک مجموعه بزرگتر بدون در نظر گرفتن ترتیب. به هر انتخاب یک «ترکیب» می‌گویند.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp>\u003Cspan style=\"display: inline-block; vertical-align: super; font-size: 10px; : \">2\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>فاکتوریل (Factorial):\u003C\u002Fstrong> حاصل ضرب تمام اعداد طبیعی از ۱ تا n که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n!\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود. به عنوان مثال \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$۵! = ۵ \\times ۴ \\times ۳ \\times ۲ \\times ۱ = ۱۲۰$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp>\u003Cspan style=\"display: inline-block; vertical-align: super; font-size: 10px; : \">3\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>جایگشت (Permutation):\u003C\u002Fstrong> مرتب کردن یا چیدن چند شیء متمایز در کنار هم که در آن ترتیب قرار گرفتن اهمیت دارد.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"نماد (n r)","ریاضی دهم","پایه دهم",0,243,"2026-02-27 16:57:02","2026-07-15 02:25:51","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F8","2:25 1405\u002F04\u002F24",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]