[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11964":193,"$fcUHScx0Bj4uo_e-ALMuQqOtR0dtHXLEtP_L527q2Ga8":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},11964,1168,1182,2582,"تعداد ترکیب‌های rتایی از n شیء متمایز: تعداد انتخاب‌های rتایی بدون توجه به ترتیب که با C(n,r) یا (n r) نمایش داده می‌شود",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGD7N3Fn0OVq2rMdxFpVJ_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"ترکیبات در ریاضیات گسسته\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n    \u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">تعداد ترکیب‌های rتایی از n شیء متمایز\u003C\u002Fh2>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">آشنایی با مفهوم انتخاب بدون ترتیب، فرمول محاسبه، ویژگی‌ها و کاربردهای ضریب دوجمله‌ای در مسائل شمارش\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">خلاصه\u003C\u002Fspan> \r\n        در این مقاله با مفهوم اصلی ترکیب\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> یا انتخاب‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan>تایی از اشیاء متمایز آشنا می‌شویم. بر خلاف جایگشت\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> که در آن ترتیب اهمیت دارد، در ترکیب‌ها تنها انتخاب اعضا مهم است. نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(n,r)$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> را معرفی کرده و با مثال‌های عینی از جمله انتخاب تیم، دسته‌های کارتی و مسائل شمارش، کاربرد آن را بررسی خواهیم کرد. همچنین به ویژگی‌های مهم این اعداد، ارتباط آنها با مثلث خیام-پاسکال و چالش‌های مفهومی رایج می‌پردازیم.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">تعریف ترکیب و تفاوت آن با جایگشت\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>ترکیب‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan>تایی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> شیء متمایز، به هر انتخاب نا مرتب از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> شیء از میان این \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> شیء گفته می‌شود. به بیان دیگر، در یک ترکیب، مجموعه‌های حاصل با هم برابرند اگر اعضایشان یکی باشد، صرف‌نظر از اینکه به چه ترتیبی کنار هم قرار گرفته‌ باشند. برای درک بهتر، فرض کنید می‌خواهیم از بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> دوست به نام‌های علی، حسن و محمد، یک تیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan> نفره برای خرید انتخاب کنیم. حالت‌های ممکن عبارتند از: {علی، حسن}، {علی، محمد} و {حسن، محمد}. دقت کنید که مجموعه {علی، حسن} با {حسن، علی} تفاوتی ندارد، زیرا هر دو به یک انتخاب (همان دو نفر) اشاره می‌کنند. اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(3,2)=3$\u003C\u002Fspan> است. اگر ترتیب مهم بود (یعنی جایگشت)، تعداد حالت‌ها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(3,2)=6$\u003C\u002Fspan> می‌شد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">فرمول اصلی\u003C\u002Fspan>\r\n        تعداد ترکیب‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan>تایی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> شیء متمایز از رابطه‌ی زیر به‌دست می‌آید:\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$C(n,r) = \\binom{n}{r} = \\frac{n!}{r! \\cdot (n-r)!}$\u003C\u002Fspan>\r\n        که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n!$\u003C\u002Fspan> (خوانده می‌شود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> فاکتوریل) حاصلضرب اعداد طبیعی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> است. این فرمول تضمین می‌کند که ترتیب اضافی ناشی از جایگشت‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">r\u003C\u002Fspan> عنصر (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan>) از تعداد کل جایگشت‌ها (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(n,r)=\\frac{n!}{(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>) حذف شود.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">ویژگی‌های کلیدی اعداد ترکیب\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>اعداد ترکیب دارای ویژگی‌های جالبی هستند که محاسبات را در بسیاری از مسائل ساده‌تر می‌کند. درک این ویژگی‌ها برای حل مسائل پیشرفته‌تر شمارش ضروری است. دو ویژگی بسیار پرکاربرد عبارتند از:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>ویژگی مکمل:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{n}{r} = \\binom{n}{n-r}$\u003C\u002Fspan>. به این معنا که انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan> شیء از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> شیء، دقیقاً برابر است با انتخاب آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n-r$\u003C\u002Fspan> شیئی که انتخاب نمی‌کنیم. مثلاً انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan> نفر برای خرید از بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> نفر، معادل است با انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> نفری که در خانه می‌مانند.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>اتحاد پاسکال:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{n}{r} = \\binom{n-1}{r-1} + \\binom{n-1}{r}$\u003C\u002Fspan>. این اتحاد پایه و اساس مثلث خیام-پاسکال است و در استقراهای ریاضی و اثبات‌های ترکیبیاتی کاربرد فراوان دارد. تفسیر آن این است: برای شمارش ترکیب‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan>تایی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> شیء، می‌توانیم یک شیء خاص را در نظر بگیریم. اگر آن شیء در انتخاب ما باشد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n-1}{r-1}$\u003C\u002Fspan>) و اگر نباشد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n-1}{r}$\u003C\u002Fspan>).\u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n\r\n    \u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه مفاهیم پایه\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n        \u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n            \u003Cthead>\r\n                \u003Ctr>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مفهوم\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ترتیب اهمیت دارد؟\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال (انتخاب ۲ از {الف، ب، ج})\u003C\u002Fth>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Fthead>\r\n            \u003Ctbody>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">ترکیب (Combination)\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">خیر\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">{الف، ب}، {الف، ج}، {ب، ج} (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{3}{2}=3$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">جایگشت (Permutation)\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">بلی\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(n,r) = \\frac{n!}{(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">(الف، ب)، (ب، الف)، (الف، ج)، (ج، الف)، (ب، ج)، (ج، ب) (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(3,2)=6$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Ftbody>\r\n        \u003C\u002Ftable>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربردهای ترکیب در مسائل دنیای واقعی\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>مفهوم ترکیب صرفاً یک انتزاع ریاضی نیست، بلکه در بسیاری از زمینه‌های روزمره و علمی کاربرد دارد. در ادامه چند مثال عینی و ملموس بررسی می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>تشکیل کمیته:\u003C\u002Fstrong> اگر در یک کلاس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">30\u003C\u002Fspan> نفره بخواهیم یک کمیته \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> نفره تشکیل دهیم، تعداد حالات ممکن برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{30}{4}$\u003C\u002Fspan>. این عدد نشان می‌دهد که بدون توجه به سمت‌های افراد در کمیته، چند گروه متفاوت می‌توانیم داشته باشیم.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>انتخاب تیم ورزشی:\u003C\u002Fstrong> یک مربی می‌خواهد از بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">12\u003C\u002Fspan> بازیکن، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> نفر را برای بازی انتخاب کند. تعداد تیم‌های ممکن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{12}{5}$\u003C\u002Fspan> است. (این انتخاب قبل از تعیین پست‌ها و ترکیب اصلی است).\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>دست در بازی پوکر:\u003C\u002Fstrong> در بازی پوکر، هر بازیکن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> کارت از یک دسته \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">52\u003C\u002Fspan> کارتی دریافت می‌کند. تعداد کل دست‌های اولیه (بدون توجه به ترتیب کارت‌ها در دست) برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{52}{5}$\u003C\u002Fspan> است که عددی بسیار بزرگ (بیش از دو میلیون و نیم) می‌باشد.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>انتخاب سوالات امتحان:\u003C\u002Fstrong> استاد از میان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">10\u003C\u002Fspan> سوال موجود، قصد دارد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">7\u003C\u002Fspan> سوال را برای امتحان انتخاب کند. تعداد راه‌های انتخاب سوالات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{10}{7} = \\binom{10}{3}$\u003C\u002Fspan> است. همانطور که می‌بینید استفاده از ویژگی مکمل محاسبه را ساده‌تر می‌کند.\u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n    \r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n        \u003Cstrong>❓ چالش اول: آیا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> همواره یک عدد صحیح است؟ چرا؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n        بله، این عبارت همیشه یک عدد صحیح مثبت (برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0 \\le r \\le n$\u003C\u002Fspan>) است. دلیل آن این است که این عدد در واقع شمارشگر تعداد زیرمجموعه‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan>عضوی از یک مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan>عضوی است و تعداد این زیرمجموعه‌ها نمی‌تواند کسری باشد. هرچند در فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{n!}{r!(n-r)!}$\u003C\u002Fspan> از تقسیم استفاده شده، اما همواره این تقسیم باقیمانده ندارد و به یک عدد صحیح منجر می‌شود.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n        \u003Cstrong>❓ چالش دوم: چرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{0}=1$\u003C\u002Fspan> است؟ انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0$\u003C\u002Fspan> شیء به چه معناست؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{0}=1$\u003C\u002Fspan> به این معناست که دقیقاً یک راه برای انتخاب هیچ‌کدام از اشیاء وجود دارد. این "یک راه" همان انتخاب مجموعه تهی (Ø) است. به طور مشابه، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{n}=1$\u003C\u002Fspan> است که نشان‌دهنده یک راه برای انتخاب همه اشیاء است. این قراردادها باعث می‌شوند فرمول‌ها و اتحادها مانند اتحاد پاسکال برای همه مقادیر معتبر باقی بمانند.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n        \u003Cstrong>❓ چالش سوم: در یک مساله، من باید بدانم که آیا با ترکیب روبرو هستم یا جایگشت. چه سوالی از خود بپرسم؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n        بهترین سوال این است: "آیا جابه‌جا کردن دو عنصر انتخاب شده، یک حالت جدید ایجاد می‌کند یا خیر؟" اگر پاسخ مثبت است، مساله از نوع جایگشت است. اگر پاسخ منفی است (یعنی جابه‌جایی دو عنصر تغییری در حالت ایجاد نمی‌کند)، مساله از نوع ترکیب است. مثلاً در انتخاب نمایندگان کلاس، اگر هر فرد یک نقش مشخص (رئیس، منشی) داشته باشد، جایگشت است؛ اگر همه نقش‌ها یکسان باشند، ترکیب است.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">نکته پایانی\u003C\u002Fspan> \r\n        مفهوم ترکیب، سنگ بنای آنالیز ترکیبی و نظریه احتمالات است. با درک تفاوت آن با جایگشت و تسلط بر فرمول و ویژگی‌های آن، می‌توانید طیف وسیعی از مسائل شمارش را که در آنها ترتیب بی‌اهمیت است، به سادگی مدل‌سازی و حل کنید. این دانش پایه‌ای برای مطالعه مباحث پیشرفته‌تری مانند قضیه دو جمله‌ای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(a+b)^n = \\sum_{r=0}^{n} \\binom{n}{r} a^{n-r} b^{r}$\u003C\u002Fspan> خواهد بود.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 24px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"font-size: 13px; color: #667085; : \">\r\n        \u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ترکیب (Combination): به انتخاب مجموعه‌ای از اشیاء از یک مجموعه بزرگتر گفته می‌شود، به طوری که ترتیب قرار گرفتن اشیاء در انتخاب اهمیت نداشته باشد.\u003Cbr>\r\n        \u003Csup>2\u003C\u002Fsup> جایگشت (Permutation): به چیدمان اشیاء در یک ترتیب خاص گفته می‌شود و در آن ترتیب قرار گرفتن عناصر مهم است.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"تعداد ترکیب‌های rتایی از n شیء متمایز","ریاضی دهم","پایه دهم",0,77,"2026-02-27 16:47:37","2026-07-15 02:29:55","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F8","2:29 1405\u002F04\u002F24",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]