[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11927":193,"$f_OOVhh1eThzDqRTtTqP9pFu1h1bjBFv_Pb1_nlVmrq0":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},11927,1168,1182,2582,"فرمول ترکیب: رابطه (n r)=n! \u002F ((n−r)! r!) برای 0≤r≤n",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FAYXAWxTGfs6xD8XLUWYB_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"آشنایی با فرمول ترکیب (n choose r)\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n    \u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">فرمول ترکیب: کلید گشایش قفل انتخاب‌های ناآشنا\u003C\u002Fh2>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">آشنایی با مفهوم فاکتوریل، رابطهٔ اصلی ترکیب، کاربرد آن در انتخاب‌های بی‌نظم و حل مسائل روزمره با استفاده از n choose r\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"font-weight: 700; color: #24292f; : \">خلاصه:\u003C\u002Fspan> در این مقاله با یکی از پرکاربردترین فرمول‌های ترکیبیات، یعنی فرمول ترکیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(n,r)$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> آشنا می‌شویم. یاد می‌گیریم که چگونه این فرمول از فاکتوریل‌ها\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ساخته شده و چطور می‌تواند به ما در شمارش تعداد راه‌های انتخاب یک گروه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan>تایی از میان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> شیء متمایز، بدون در نظر گرفتن ترتیب، کمک کند. با مثال‌های متنوعی از زندگی روزمره، مانند انتخاب اعضای تیم، شمارش دست‌های پوکر و تشکیل کمیته‌ها، این مفهوم را به شکلی ملموس و ساده توضیح خواهیم داد.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">از فاکتوریل تا فرمول اصلی ترکیب\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>پیش از آنکه به سراغ فرمول ترکیب برویم، باید با مفهوم فاکتوریل\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> آشنا شویم. فاکتوریل یک عدد طبیعی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n!$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود، حاصل‌ضرب تمام اعداد طبیعی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> است. به عبارت دیگر:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; text-align: center; margin: 8px 0; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n! = n \\times (n-1) \\times (n-2) \\times \\dots \\times 2 \\times 1$\u003C\u002Fspan>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp>برای مثال، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5! = 5 \\times 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1 = 120$\u003C\u002Fspan>. همچنین یک قرارداد مهم داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0! = 1$\u003C\u002Fspan>. حالا می‌خواهیم بدانیم اگر از میان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> کتاب مختلف، بخواهیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan> کتاب را انتخاب کنیم (بدون آنکه ترتیب انتخاب برایمان مهم باشد)، چند راه مختلف داریم؟ اینجا بود که ریاضیدانان فرمول زیر را کشف کردند:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; text-align: center; margin: 12px 0; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{n}{r} = \\frac{n!}{(n-r)! \\times r!}$\u003C\u002Fspan>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp>این فرمول که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(n,r)$\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود، پاسخ مسئلهٔ ما است. به آن «ترکیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan> از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan>» می‌گویند. دلیل وجود فاکتوریل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> در مخرج این است که ترتیب‌های مختلف انتخاب‌ها را حذف کنیم، زیرا در ترکیب، جابه‌جایی اعضا تغییری در گروه نهایی ایجاد نمی‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">گام به گام با فرمول: مثال‌های ملموس و روزمره\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>فرض کنید می‌خواهیم از میان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> دوست خود، یک تیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> نفره برای یک بازی تشکیل دهیم. تعداد حالات ممکن با استفاده از فرمول ترکیب محاسبه می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; text-align: center; margin: 8px 0; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{5}{2} = \\frac{5!}{(5-2)! \\times 2!} = \\frac{5!}{3! \\times 2!} = \\frac{5 \\times 4 \\times 3!}{3! \\times 2 \\times 1} = \\frac{20}{2} = 10$\u003C\u002Fspan>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp>یعنی می‌توانیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$10$\u003C\u002Fspan> تیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> نفرهٔ مختلف از بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> دوست خود تشکیل دهیم. برای درک بهتر، تصور کنید نام دوستان علی، بهرام، پریا، سارا و نادر است. یکی از این \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$10$\u003C\u002Fspan> حالت، تیم (علی و بهرام) است. توجه کنید که تیم (بهرام و علی) با تیم قبلی تفاوتی ندارد، چون ترتیب اعضا در تیم مهم نیست.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; margin-left: 6px; : \">?️ نکته\u003C\u002Fspan> اگر در فرمول، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r = 0$\u003C\u002Fspan> باشد، چه معنایی دارد؟ انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0$\u003C\u002Fspan> شیء از میان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> شیء فقط یک راه دارد: «هیچ چیزی انتخاب نکنیم». و فرمول نیز این را تأیید می‌کند: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{0} = \\frac{n!}{n! \\times 0!} = \\frac{1}{1} = 1$\u003C\u002Fspan>.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cp>حالا یک مثال دیگر: می‌خواهیم از بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$6$\u003C\u002Fspan> نوع میوه (سیب، پرتقال، موز، انگور، انار، خرمالو) یک سبد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$\u003C\u002Fspan> میوه‌ای برای مادر بزرگ ببریم. تعداد سبدهای مختلفی که می‌توانیم درست کنیم برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; text-align: center; margin: 8px 0; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{6}{3} = \\frac{6!}{3! \\times 3!} = \\frac{720}{6 \\times 6} = \\frac{720}{36} = 20$\u003C\u002Fspan>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp>پس می‌توانیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$20$\u003C\u002Fspan> سبد میوهٔ متفاوت برای مادر بزرگ ببریم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی: از مسابقات ورزشی تا احتمال در پوکر\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>فرمول ترکیب تنها یک رابطهٔ ریاضی خشک و خالی نیست، بلکه ابزاری قدرتمند در دنیای واقعی است. در ادامه دو کاربرد جذاب آن را بررسی می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>\u003Cstrong>انتخاب اعضای تیم پروژه:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید در یک شرکت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$10$\u003C\u002Fspan> نفر متقاضی کار روی یک پروژهٔ ویژه هستند. مدیر می‌خواهد یک تیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> نفره از میان آنها انتخاب کند. تعداد تیم‌های ممکن برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{10}{4} = 210$\u003C\u002Fspan> تیم مختلف. این یعنی مدیر با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$210$\u003C\u002Fspan> انتخاب متفاوت روبرو است.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>\u003Cstrong>شمارش دست‌های پوکر:\u003C\u002Fstrong> در بازی پوکر، به هر بازیکن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> کارت از یک دست \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$52$\u003C\u002Fspan> کارتی داده می‌شود. تعداد کل دست‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> کارتی ممکن (بدون توجه به ترتیب کارت‌ها در دست) یک عدد بسیار بزرگ است که با ترکیب محاسبه می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; text-align: center; margin: 8px 0; : \">\r\n        \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\binom{52}{5} = \\frac{52!}{47! \\times 5!} = 2,598,960$\u003C\u002Fspan>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp>یعنی بیش از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2.5$\u003C\u002Fspan> میلیون دست مختلف! به کمک همین فرمول است که می‌توانیم احتمال به دست آوردن دست‌های خاص مانند «خال»\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> را محاسبه کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">جدول مقایسه: ترکیب در مقابل جایگشت\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>یکی از نقاطی که دانش‌آموزان را دچار سردرگمی می‌کند، تفاوت میان ترکیب و جایگشت\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> است. در جدول زیر این دو مفهوم به وضوح مقایسه شده‌اند:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسه ترکیب و جایگشت\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n        \u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n            \u003Cthead>\r\n                \u003Ctr>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مفهوم\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ترتیب اهمیت دارد؟\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال (انتخاب ۲ نفر از ۳ نفر)\u003C\u002Fth>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Fthead>\r\n            \u003Ctbody>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">ترکیب (Combination)\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">خیر\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">{علی، رضا} با {رضا، علی} یکی است. (۳ حالت)\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">جایگشت (Permutation)\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(n,r) = \\frac{n!}{(n-r)!}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">بلی\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">{علی، رضا} با {رضا، علی} دو حالت متفاوت است. (۶ حالت)\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Ftbody>\r\n        \u003C\u002Ftable>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی: پرسش و پاسخ\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong>⁉️ چرا در فرمول ترکیب بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> تقسیم می‌کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0; : \">اگر بخواهیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan> شیء را از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> شیء انتخاب کنیم و ترتیب مهم باشد، تعداد حالات برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(n,r) = \\frac{n!}{(n-r)!}$\u003C\u002Fspan> است. اما در ترکیب، ترتیب مهم نیست. هر گروه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan>تایی را می‌توان به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> طریق مختلف مرتب کرد. برای حذف این ترتیب‌ها، تعداد کل حالت‌ها (حالت‌های باحضور ترتیب) را بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> تقسیم می‌کنیم. به همین دلیل است که فرمول ترکیب، حاصل‌تقسیم جایگشت بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r!$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong>⁉️ اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r \\gt n$\u003C\u002Fspan> باشد، مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> چقدر است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0; : \">بر اساس تعریف، ترکیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> فقط برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0 \\le r \\le n$\u003C\u002Fspan> معنا دارد. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan> از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> بزرگتر باشد، نمی‌توانیم تعداد بیشتری شیء از تعداد کل اشیاء انتخاب کنیم. در چنین حالتی، مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r} = 0$\u003C\u002Fspan> در نظر گرفته می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong>⁉️ چرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r} = \\binom{n}{n-r}$\u003C\u002Fspan> است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0; : \">این یک ویژگی متقارن مهم در ترکیب است. انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan> شیء از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> شیء دقیقاً معادل است با انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n-r$\u003C\u002Fspan> شیء و کنار گذاشتن آنها. به عبارت دیگر، هر بار که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan> شیء را برمی‌داریم، در واقع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n-r$\u003C\u002Fspan> شیء را باقی می‌گذاریم. تعداد راه‌های برداشتن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan> شیء با تعداد راه‌های باقی گذاشتن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n-r$\u003C\u002Fspan> شیء برابر است. این تساوی را می‌توان با جایگذاری در فرمول نیز اثبات کرد: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{n-r} = \\frac{n!}{(n-(n-r))! (n-r)!} = \\frac{n!}{r! (n-r)!} = \\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cspan style=\"font-weight: 700; : \">در یک نگاه:\u003C\u002Fspan> فرمول ترکیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r} = \\frac{n!}{(n-r)! r!}$\u003C\u002Fspan> یک ابزار پایه‌ای و قدرتمند در شمارش است. این فرمول به ما می‌گوید که برای انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan> عضو از یک مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> عضوی، بدون توجه به ترتیب، دقیقاً به همین تعداد راه وجود دارد. از تشکیل تیم‌های ورزشی تا محاسبات پیچیدهٔ احتمالات، ردپای این فرمول دیده می‌شود. درک این مفهوم، پایهٔ فهم بسیاری از مباحث آمار و احتمال را تشکیل می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"font-size: 13px; color: #667085; : \">\r\n        \u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>فاکتوریل (Factorial):\u003C\u002Fstrong> حاصل‌ضرب تمام اعداد صحیح مثبت از 1 تا یک عدد معین. به عنوان مثال، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5! = 5 \\times 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1 = 120$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>ترکیب (Combination):\u003C\u002Fstrong> انتخاب تعدادی از اعضای یک مجموعه به‌گونه‌ای که ترتیب انتخاب مهم نباشد. فرمول آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\binom{n}{r}$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>خال (Flush):\u003C\u002Fstrong> در بازی پوکر، دستی که شامل پنج کارت از یک خال (یک نشان) باشد، مانند پنج کارت پیک.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>جایگشت (Permutation):\u003C\u002Fstrong> مرتب کردن تعدادی از اعضای یک مجموعه به ترتیب معین. در جایگشت، ترتیب قرارگیری عناصر اهمیت دارد. فرمول آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(n,r) = \\frac{n!}{(n-r)!}$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"فرمول ترکیب","ریاضی دهم","پایه دهم",0,301,"2026-02-27 12:04:46","2026-07-16 02:12:39","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F8","2:12 1405\u002F04\u002F25",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]