[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11893":193,"$fiknDaZl0w5djbidG-g58jAoDkiNI2r01VyecmC_zHAE":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},11893,1168,1182,2582,"نمودار درختی: نمایش شاخه‌ایِ انتخاب‌های مرحله‌به‌مرحله برای شمارش حالت‌ها",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FIMRANpKe3jTDg7HQPQmq_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"نمودار درختی: نمایش شاخه‌ای انتخاب‌های مرحله‌به‌مرحله برای شمارش حالت‌ها\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">نمودار درختی: نقشه راهی برای شمارش بدون خطا\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">از انتخاب یک ساندویچ تا رمزگشایی از ترکیب‌های پیچیده، با رسم یک درخت ساده، همهٔ حالت‌های ممکن را قدم‌به‌قدم بشمارید.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nنمودار درختی یک ابزار تصویری قدرتمند برای شمارش سیستماتیک تمام حالت‌های ممکن در مسائل ترکیبیاتی است. این روش با نمایش انتخاب‌های متوالی به صورت شاخه‌هایی از یک ریشه، به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا اصل شمارش[1] را به صورت شهودی درک کرده و از سردرگمی در محاسبهٔ احتمالات[2] و تعداد حالت‌ها جلوگیری کنند. در این مقاله با مثال‌های متنوع، از منوی ناهار تا پرتاب سکه، با این ابزار کاربردی آشنا می‌شویم.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">شمارش گام به گام: از ریشه تا برگ‌ها\u003C\u002Fh3>\r\nنمودار درختی برای شمارش تعداد کل حالت‌ها، از یک نقطهٔ شروع به نام \u003Cstrong>ریشه\u003C\u002Fstrong> آغاز می‌شود. از ریشه، به تعداد گزینه‌های اولین انتخاب، \u003Cstrong>شاخه\u003C\u002Fstrong> خارج می‌شود. در انتهای هر شاخه، دومین انتخاب انجام می‌شود و به همین ترتیب، این روند تا آخرین مرحله ادامه می‌یابد. هر \u003Cstrong>مسیر\u003C\u002Fstrong> از ریشه تا یک برگ (انتهای یک شاخه) نمایانگر یک حالت منحصربه‌فرد است. تعداد کل حالت‌ها برابر است با تعداد برگ‌ها یا حاصل‌ضرب تعداد انتخاب‌ها در هر مرحله.\r\n\r\nبرای درک بهتر، فرض کنید می‌خواهید یک بستنی با سه طعم (وانیل، شکلات، توت‌فرنگی) و دو نوع تزئین (ترافل ریز، چیپس شکلات) انتخاب کنید. انتخاب طعم (۳ گزینه) مرحلهٔ اول و انتخاب تزئین (۲ گزینه) مرحلهٔ دوم است. تعداد کل حالت‌ها برابر است با:\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$3 \\times 2 = 6$\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">نکته ریاضی\u003C\u002Fspan>\r\nاصل بنیادی شمارش می‌گوید: اگر عملی را بتوان به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k$\u003C\u002Fspan> طریق و پس از آن عمل دیگری را به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$m$\u003C\u002Fspan> طریق انجام داد، کل طرق انجام این دو عمل پشت سر هم، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k \\times m$\u003C\u002Fspan> است. نمودار درختی، تجسم عینی این اصل است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">سناریوی عملی: منوی یک رستوران\u003C\u002Fh3>\r\nفرض کنید برای صرف ناهار به رستورانی رفته‌اید که منوی آن به شکل زیر است:\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>پیش‌غذا\u003C\u002Fstrong>: سوپ (س) یا سالاد (ص) \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(2 گزینه)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>غذای اصلی\u003C\u002Fstrong>: مرغ (م)، ماهی (م‌ی) یا استیک (ا) \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(3 گزینه)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>نوشیدنی\u003C\u002Fstrong>: آب معدنی (آ)، نوشابه (ن) یا دوغ (د) \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(3 گزینه)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\nاگر بخواهید یک وعدهٔ کامل شامل یک پیش‌غذا، یک غذای اصلی و یک نوشیدنی انتخاب کنید، چند نوع وعدهٔ غذایی می‌توانید داشته باشید؟\r\nنمودار درختی این مسئله را اینگونه نشان می‌دهد:\r\n\u003Cul>\r\n\u003Cli>از ریشه، دو شاخه برای پیش‌غذا (س، ص) رسم می‌کنیم.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>در انتهای هر کدام از این شاخه‌ها، برای غذای اصلی سه شاخه (م، م‌ی، ا) رسم می‌کنیم. تا اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2 \\times 3 = 6$\u003C\u002Fspan> مسیر داریم.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>در انتهای هر کدام از این \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$6$\u003C\u002Fspan> مسیر، سه شاخه برای نوشیدنی (آ، ن، د) رسم می‌کنیم.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\nبا این حساب، تعداد کل برگ‌ها (وعده‌های غذایی ممکن) برابر است با:\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$2 \\times 3 \\times 3 = 18$\u003C\u002Fspan>\r\nبدون رسم درخت، به‌سادگی می‌توان دریافت که با ضرب تعداد انتخاب‌های هر مرحله، به جواب می‌رسیم.\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه تعداد حالت‌ها\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مرحله\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد انتخاب‌ها\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">محاسبهٔ تجمعی\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">پیش‌غذا\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">غذای اصلی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2 \\times 3 = 6$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">نوشیدنی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$6 \\times 3 = 18$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد در محاسبهٔ احتمالات\u003C\u002Fh3>\r\nنمودار درختی فقط برای شمارش ساده نیست، بلکه ابزاری کلیدی در محاسبهٔ \u003Cstrong>احتمالات\u003C\u002Fstrong> نیز هست. با نوشتن احتمال روی هر شاخه، می‌توان احتمال وقوع هر مسیر (برگ) را با ضرب احتمال‌های طول مسیر به دست آورد.\r\n\r\nبه عنوان مثال، فرض کنید یک کیسه شامل ۳ مهرهٔ قرمز (ق) و ۲ مهرهٔ آبی (آ) است. دو مهره را به‌طور متوالی و بدون جای‌گذاری[3] از کیسه خارج می‌کنیم. می‌خواهیم احتمال این که هر دو مهره قرمز باشند را حساب کنیم.\r\n\u003Cul>\r\n\u003Cli>مرحله اول: احتمال قرمز بودن مهرهٔ اول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{3}{5}$\u003C\u002Fspan> و احتمال آبی بودن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{2}{5}$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>مرحله دوم (بسته به نتیجهٔ مرحله اول):\r\n\u003Cul>\r\n\u003Cli>اگر مهره اول قرمز باشد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{3}{5}$\u003C\u002Fspan>)، حالا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> مهره قرمز و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> مهره آبی باقی می‌ماند. احتمال قرمز بودن دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>اگر مهره اول آبی باشد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{2}{5}$\u003C\u002Fspan>)، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$\u003C\u002Fspan> مهره قرمز و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> مهره آبی باقی می‌ماند. احتمال قرمز بودن دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{3}{4}$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\nاحتمال این که هر دو مهره قرمز باشند (مسیر قرمز-قرمز) برابر است با حاصل‌ضرب احتمال‌های دو شاخه:\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{3}{5} \\times \\frac{1}{2} = \\frac{3}{10}$\u003C\u002Fspan>\r\nدر اینجا، نمودار درختی به ما کمک می‌کند تا وابستگی رویدادها را به‌صورت بصری درک کنیم.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی و پاسخ به آنها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cstrong>چالش ۱: چه زمانی استفاده از نمودار درختی به جای فرمول‌های ترکیبیاتی[4] مناسب‌تر است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: زمانی که تعداد مراحل کم (معمولاً ۲ یا ۳ مرحله) و تعداد گزینه‌ها در هر مرحله محدود باشد، رسم درخت بسیار گویا و شهودی است. همچنین در مسائل احتمال شرطی که نتیجهٔ مرحلهٔ قبل روی مرحلهٔ بعد تأثیر می‌گذارد (مثل مثال مهره‌ها)، درخت به خوبی وابستگی‌ها را نشان می‌دهد. برای مسائل با مراحل زیاد یا گزینه‌های بسیار زیاد، استفاده از فرمول‌های ترکیبیاتی (جایگشت[5] و ترکیب[6]) کارآمدتر است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cstrong>چالش ۲: چگونه می‌توان مطمئن شد که هیچ حالتی را از قلم نینداخته‌ایم یا دوبار نشمرده‌ایم؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: رعایت دو نکته ضروری است: اول، در هر مرحله، همهٔ گزینه‌های ممکن را به عنوان شاخه در نظر بگیرید. دوم، نظم را در رسم شاخه‌ها رعایت کنید. برای مثال، همیشه گزینه‌ها را به ترتیب مشخصی (مثل حروف الفبا یا ترتیب دلخواه ثابت) رسم کنید. این کار به شما اطمینان می‌دهد که مسیرها به طور سیستماتیک پوشش داده شده‌اند. تعداد برگ‌ها باید با حاصل‌ضرب تعداد گزینه‌ها برابر باشد که خود یک ابزار چک‌کننده است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cstrong>چالش ۳: آیا نمودار درختی فقط برای مسائل «با جای‌گذاری» کاربرد دارد یا «بدون جای‌گذاری» را هم پوشش می‌دهد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: نمودار درختی هر دو نوع مسئله را به خوبی پوشش می‌دهد. در مسائل «با جای‌گذاری» (مثل پرتاب چند تاس یا سکه)، تعداد شاخه‌ها در هر مرحله ثابت می‌ماند. در مسائل «بدون جای‌گذاری» (مثل خارج کردن مهره از کیسه و برنگرداندن آن)، تعداد شاخه‌ها در مراحل بعدی کاهش می‌یابد. درخت این کاهش را به‌صورت طبیعی و با کم شدن تعداد شاخه‌ها در سطوح پایین‌تر نشان می‌دهد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مثال ترکیبی: پرتاب سکه و تاس\u003C\u002Fh3>\r\nبرای تثبیت مفهوم، یک مثال کلاسیک دیگر را بررسی می‌کنیم. یک سکه و یک تاس را با هم پرتاب می‌کنیم. نمودار درختی نتایج ممکن را نشان می‌دهد.\r\n\u003Cul>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>مرحله اول (پرتاب سکه)\u003C\u002Fstrong>: دو حالت، شیر (Sh) یا خط (Kh).\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>مرحله دوم (پرتاب تاس)\u003C\u002Fstrong>: شش حالت، اعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$6$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\nتعداد کل حالت‌ها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2 \\times 6 = 12$\u003C\u002Fspan> حالت است. احتمال به دست آوردن شیر و عدد فرد به این صورت محاسبه می‌شود:\r\n\u003Cul>\r\n\u003Cli>احتمال شیر: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{1}{2}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>با فرض شیر، احتمال آمدن عدد فرد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1, 3, 5$\u003C\u002Fspan>) برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>احتمال مورد نظر: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{1}{2} \\times \\frac{1}{2} = \\frac{1}{4}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\nنمودار درختی با شکستن یک مسئلهٔ پیچیده به مراحل کوچک و تصمیم‌های ساده، فرآیند شمارش و محاسبهٔ احتمال را برای دانش‌آموزان ملموس و خطاناپذیر می‌کند. این ابزار بصری، پلی است میان درک شهودی و قواعد انتزاعی ریاضیات.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> اصل شمارش (Counting Principle): اصلی بنیادی در ترکیبیات که بیان می‌کند اگر کاری به \u003Cem>m\u003C\u002Fem> طریق و کار دیگری به \u003Cem>n\u003C\u002Fem> طریق انجام شود، آن دو کار پشت سر هم به \u003Cem>m × n\u003C\u002Fem> طریق قابل انجام هستند.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> احتمال (Probability): شاخه‌ای از ریاضیات که به بررسی احتمال وقوع رویدادهای تصادفی می‌پردازد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> بدون جای‌گذاری (Without Replacement): به موقعیتی گفته می‌شود که آیتم انتخاب شده به مجموعه اولیه بازگردانده نشود، بنابراین احتمال انتخاب‌های بعدی تغییر می‌کند.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> ترکیبیات (Combinatorics): شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعهٔ روش‌های شمارش، ترکیب و جایگشت اشیا می‌پردازد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> جایگشت (Permutation): به تعداد حالات چیدن اشیا در کنار یکدیگر وقتی ترتیب اهمیت دارد، گفته می‌شود.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> ترکیب (Combination): به تعداد حالات انتخاب تعدادی اشیا از یک مجموعه وقتی ترتیب اهمیت ندارد، گفته می‌شود.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"نمودار درختی","ریاضی دهم","پایه دهم",0,329,"2026-02-26 15:26:56","2026-07-17 12:10:51","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F7","12:10 1405\u002F04\u002F26",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]