[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11888":193,"$f83UD4p5-otova6MrEP68cMdeZp6Z996oQPiIGPIde4s":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},11888,1168,1182,2582,"رقم غیرتکراری: حالتی که هیچ رقمی در عدد ساخته‌شده تکرار نشود",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHbRQGFiTIR77Fa4raXhD_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"مقاله جامع اعداد با ارقام غیرتکراری\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">عددنویسی با ارقام غیرتکراری: از رمزهای عبور تا اعشار نامتناهی\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">بررسی مفهوم «عدم تکرار ارقام» در اعداد، کاربرد آن در رمزگذاری و احتمال، و تفاوت آن با اعداد گنگ از دیدگاهی ساده و جامع\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">خلاصهٔ مقاله:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله با مفهوم \u003Cstrong>عدد با ارقام غیرتکراری\u003C\u002Fstrong> آشنا می‌شویم. این اعداد که در آنها هیچ رقمی دوباره به کار نمی‌رود، در زندگی روزمره مانند ساخت رمزهای بانکی و شماره‌گذاری کاربرد گسترده‌ای دارند. ابتدا با زبان ترکیبیات و \u003Cstrong>جایگشت\u003C\u002Fstrong> به شمارش این اعداد می‌پردازیم، سپس ردپای آنها را در \u003Cstrong>اعشار اعداد گویا\u003C\u002Fstrong> (کسرها) و اعداد گنگ دنبال می‌کنیم. در پایان با مثالی ملموس از \u003Cstrong>مسئلهٔ تولد\u003C\u002Fstrong> نشان می‌دهیم که گاهی یافتن یک عدد غیرتکراری آن‌قدرها هم که فکر می‌کنیم ساده نیست.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۱. شمارش اعداد با ارقام غیرتکراری: سفری به دنیای جایگشت‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>فرض کنید می‌خواهید یک رمز ۴ رقمی برای کارت بانکی خود انتخاب کنید، به شرطی که هیچ رقمی در آن تکرار نشود. چنین رمزی یک \u003Cstrong>عدد با ارقام غیرتکراری\u003C\u002Fstrong> است. برای محاسبهٔ تعداد این رمزها از علمی به نام \u003Cstrong>ترکیبیات\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(Combinatorics)\u003C\u002Fspan> و مفهوم \u003Cstrong>جایگشت\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(Permutation)\u003C\u002Fspan> استفاده می‌کنیم. در یک رمز ۴ رقمی، برای اولین خانه ۱۰ انتخاب (ارقام ۰ تا ۹) داریم. پس از انتخاب یک رقم، برای خانهٔ دوم \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۹\u003C\u002Fspan> انتخاب، برای خانهٔ سوم \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۸\u003C\u002Fspan> انتخاب و برای خانهٔ چهارم \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۷\u003C\u002Fspan> انتخاب باقی می‌ماند. بنابراین تعداد کل رمزهای ممکن برابر است با: \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$10 \\times 9 \\times 8 \\times 7 = 5040$\u003C\u002Fspan> .\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>در حالت کلی، اگر بخواهیم از میان \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> رقم متمایز، یک عدد \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k$\u003C\u002Fspan> رقمی با ارقام غیرتکراری بسازیم، تعداد حالت‌ها از فرمول \u003Cstrong>جایگشت\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$P(n, k) = \\frac{n!}{(n-k)!}$\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید. به عنوان مثال، تعداد اعداد ۳ رقمی غیرتکراری با ارقام \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">{1,2,3}\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$P(3,3)=3!=6$\u003C\u002Fspan> است . این مفهوم پایه‌ای برای درک پیچیدگی رمزهای عبور و امنیت آن‌هاست.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۲. کاربرد عملی: از رمزگشایی تا قرعه‌کشی‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">مثال واقعی\u003C\u002Fspan> فرض کنید در یک قرعه‌کشی، ۴۸ توپ شماره‌گذاری شده وجود دارد و قرار است ۶ توپ به‌طور تصادفی و بدون توجه به ترتیب بیرون بیاید. برای برنده شدن جکپات، اعداد روی تمام توپ‌های انتخابی شما باید با اعداد توپ‌های بیرون آمده یکسان باشد (ترتیب مهم نیست). در اینجا، اعداد انتخاب‌شده توسط شما یک «مجموعهٔ ۶ تایی از اعداد» است که به دلیل قرعه‌کشی بدون جایگذاری، ذاتاً غیرتکراری هستند. تعداد کل حالت‌های ممکن برای بیرون آمدن ۶ توپ از ۴۸ توپ، با استفاده از \u003Cstrong>ترکیب\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(Combination)\u003C\u002Fspan> محاسبه می‌شود: \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$C(48, 6) = \\frac{48!}{6!(48-6)!} = 12,271,512$\u003C\u002Fspan>. احتمال برنده شدن تنها \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{1}{12,271,512}$\u003C\u002Fspan> است . این مثال نشان می‌دهد که چگونه اصل عدم تکرار ارقام (در اینجا اعداد)، پایه و اساس محاسبه‌ی احتمالات در بازی‌های شانسی را تشکیل می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>در دنیای \u003Cstrong>رمزنگاری\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(Cryptography)\u003C\u002Fspan>، کلیدهای رمزگذاری باید تا حد امکان تصادفی و غیرقابل پیش‌بینی باشند. دنباله‌هایی از ارقام که در آن‌ها ارقام تکرار نمی‌شوند، شکستن رمز را بسیار دشوارتر می‌کنند. روش‌های خلاقانه‌ای برای تولید این دنباله‌ها وجود دارد، از جمله استفاده از ارقام اعشاری اعداد گویای خاص .\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسهٔ روش‌های شمارش\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مفهوم\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">زمان استفاده\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول (برای ارقام غیرتکراری)\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">جایگشت (ترتیب مهم است)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">ساخت رمز عبور، شماره‌گذاری\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(n, k) = \\frac{n!}{(n-k)!}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تعداد رمزهای ۴ رقمی غیرتکراری: \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(10,4)=5040$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">ترکیب (ترتیب مهم نیست)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">انتخاب اعداد بخت‌آزمایی، دسته‌های کارتی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(n, k) = \\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تعداد دست‌های ۵ کارتی غیرتکراری از ۵۲ برگ: \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C(52,5)=2,598,960$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۳. چالش‌های مفهومی: تکرار ممنوع، اما چگونه؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; font-weight: 700; color: #344054; : \">❓ سؤال ۱: آیا یک عدد اعشاری با ارقام غیرتکراری همان «عدد گنگ» است؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; : \">\u003Cspan style=\"font-weight: 700; color: #344054; : \">پاسخ:\u003C\u002Fspan> خیر، این یک باور نادرست رایج است . \u003Cstrong>اعداد گنگ\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(Irrational numbers)\u003C\u002Fspan> اعدادی هستند که نمایش اعشاری آن‌ها \u003Cstrong>هم غیرمتناپ (غیرتکراری) است و هم نامتناهی\u003C\u002Fstrong>. اما یک عدد گویا نیز می‌تواند یک «بازهٔ غیرتکراری» داشته باشد. برای مثال، کسر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{1}{7}=0.\\overline{142857}$\u003C\u002Fspan> دارای ارقام تکراری است. در مقابل، کسر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{1}{17}=0.\\overline{0588235294117647}$\u003C\u002Fspan> یک دورۀ تکراری به طول ۱۶ رقم دارد، اما خود این ۱۶ رقم در داخل این دوره همگی غیرتکراری هستند؟ بله! در \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{1}{17}$\u003C\u002Fspan>، بلوک تکراری ۱۶ رقمی آن (۰۵۸۸۲۳۵۲۹۴۱۱۷۶۴۷) هیچ رقمی را تکرار نمی‌کند و تمام ارقام ۱ تا ۹ به جز صفر در آن ظاهر شده‌اند . پس یک عدد گویا می‌تواند در دورهٔ تناوب خود، ارقامی کاملاً غیرتکراری داشته باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 12px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; font-weight: 700; color: #344054; : \">❓ سؤال ۲: چطور می‌توان فهمید یک کسر مانند \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{1}{7}$\u003C\u002Fspan> دوره‌ای به طول ۶ دارد، اما \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{1}{17}$\u003C\u002Fspan> دوره‌ای به طول ۱۶ دارد؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; : \">\u003Cspan style=\"font-weight: 700; color: #344054; : \">پاسخ:\u003C\u002Fspan> این به نظریۀ اعداد و مفهوم \u003Cstrong>ریشۀ اولیه\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(Primitive Root)\u003C\u002Fspan> برمی‌گردد. وقتی مخرج کسر (عدد ۷ یا ۱۷) یک عدد اول باشد، حداکثر طول دورهٔ تناوب می‌تواند برابر با مخرج منهای یک (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$B-1$\u003C\u002Fspan>) باشد. اگر ۱۰ یک «ریشۀ اولۀ» آن عدد اول باشد، آنگاه کسر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{1}{B}$\u003C\u002Fspan> دارای بیشترین طول دوره (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$B-1$\u003C\u002Fspan>) خواهد بود و ارقام آن دوره نیز همگی غیرتکراری خواهند بود. این پدیدهای است که برای اولین بار توسط \u003Cstrong>گاوس\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(Gauss)\u003C\u002Fspan> در کتاب «تحقیقات حساب» مطالعه شد و هنوز هم یافتن تمام اعداد اولی که ۱۰ برای آن‌ها ریشۀ اولیه است، یک مسئلۀ حل‌نشده در ریاضیات به حساب می‌آید .\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; font-weight: 700; color: #344054; : \">❓ سؤال ۳: مسئلۀ تولد چه ارتباطی با ارقام غیرتکراری دارد؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; : \">\u003Cspan style=\"font-weight: 700; color: #344054; : \">پاسخ:\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>مسئلۀ مشهور تولد\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(Birthday Problem)\u003C\u002Fspan> می‌پرسد در یک جمع چند نفره، احتمال اینکه حداقل دو نفر تاریخ تولد یکسانی داشته باشند چقدر است؟ این مسئله در اصل به دنبال «عدم تکرار» تاریخ تولدهاست. احتمال اینکه هیچ تولد تکراری نباشد (یعنی همهٔ تاریخ‌ها غیرتکراری باشند) برای جمع ۳۰ نفر، برابر است با \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{365}{365} \\times \\frac{364}{365} \\times ... \\times \\frac{336}{365} \\approx 0.294$\u003C\u002Fspan>. در نتیجه، احتمال اینکه حداقل یک تکرار وجود داشته باشد، شگفت‌آور بالا و برابر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$1 - 0.294 = 0.706$\u003C\u002Fspan> یا ۷۰٪ است . این مثال نشان می‌دهد که هرچند مفهوم «غیرتکراری» ساده به نظر می‌رسد، اما در عمل و با افزایش تعداد اعضا، یافتن مجموعه‌ای بدون تکرار بسیار دشوار و غیرمحتمل می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۴. از اعشار تا بی‌نهایت: نگاهی به اعداد گنگ\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>در بخش قبلی دیدیم که برخی اعداد گویا مانند \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{1}{17}$\u003C\u002Fspan> در دورهٔ تناوب خود دارای ارقام غیرتکراری هستند. اما اگر این دوره‌های تناوب را برداریم و عددی بسازیم که هرگز به دورهٔ تکراری نرسد، وارد قلمرو \u003Cstrong>اعداد گنگ\u003C\u002Fstrong> می‌شویم . مشهورترین این اعداد، عدد \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\pi = 3.1415926535...$\u003C\u002Fspan> است. ارقام عدد پی هیچ‌گاه به یک الگوی تکراری ختم نمی‌شوند و دنباله‌ای بی‌نهایت از ارقام را تشکیل می‌دهند که تا به امروز میلیاردها رقم از آن محاسبه شده است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>نکتهٔ جالب توجه این است که یک عدد گنگ می‌تواند دارای ارقام تکراری هم باشد، اما این تکرار هرگز به صورت یک دورۀ ثابت و دائمی درنمی‌آید. برای مثال، عدد \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$0.101001000100001...$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. این عدد هم گنگ است (چون دوره‌ای ندارد) هم ارقام ۱ و ۰ در آن تکرار می‌شوند، اما نه به صورت منظم. پس ویژگی اصلی اعداد گنگ، «بی‌نهایت و غیرمتناوب» بودن است، نه صرفاً غیرتکراری بودن .\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; font-weight: 700; color: #344054; : \">? نکتهٔ پایانی:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; : \">مفهوم «عدد با ارقام غیرتکراری» از ساده‌ترین مفاهیم ترکیبیات برای شمارش رمزهای عبور شروع می‌شود و تا عمیق‌ترین لایه‌های نظریه اعداد و ماهیت اعداد گنگ و گویا پیش می‌رود. از \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$5040$\u003C\u002Fspan> رمز بانکی گرفته تا ریشۀ اولیۀ ۱۰ برای مخرج \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$17$\u003C\u002Fspan> در کسر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{1}{17}$\u003C\u002Fspan> و تا بینهایت ارقام غیرمتناوب عدد پی، همگی جلوه‌هایی از یک ایدهٔ واحد هستند: «نظم در عین بی‌نظمی» یا به عبارت دقیق‌تر، «عدم تکرار». این ویژگی نه تنها امنیت را برای ما به ارمغان می‌آورد، بلکه دریچه‌ای به سوی درک بی‌نهایت‌های ریاضی است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 0; font-size: 14px; color: #667085; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 4px 0; : \">\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>ترکیبیات (Combinatorics):\u003C\u002Fstrong> شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعهٔ روش‌های شمارش، ترکیب و چیدمان اشیا می‌پردازد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 4px 0; : \">\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>جایگشت (Permutation):\u003C\u002Fstrong> هر نوع چیدمان مجموعه‌ای از اشیا در یک ترتیب خاص. در جایگشت، ترتیب قرار گرفتن عناصر اهمیت دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 4px 0; : \">\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>ترکیب (Combination):\u003C\u002Fstrong> انتخاب مجموعه‌ای از اشیا از یک مجموعهٔ بزرگتر، به‌طوری‌که ترتیب انتخاب اهمیتی نداشته باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 4px 0; : \">\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>ریشهٔ اولیه (Primitive Root):\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n$\u003C\u002Fspan> یک عدد صحیح مثبت باشد، عدد \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$g$\u003C\u002Fspan> یک ریشهٔ اولیهٔ \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n$\u003C\u002Fspan> نامیده می‌شود اگر هر عددی که نسبت به \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n$\u003C\u002Fspan> اول باشد، بتواند به صورت توانی از \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$g$\u003C\u002Fspan> به پیمانۀ \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n$\u003C\u002Fspan> نمایش داده شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; : \">\u003Csup>5\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>رمزنگاری (Cryptography):\u003C\u002Fstrong> علم و هنر ایجاد روش‌هایی برای برقراری ارتباط امن در حضور اشخاص ثالث و دشمنان.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"رقم غیرتکراری","ریاضی دهم","پایه دهم",0,85,"2026-02-26 15:10:14","2026-07-17 12:24:11","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F7","12:24 1405\u002F04\u002F26",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]