[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11800":193,"$fHYTv76zXpasN0C5Tq8RTXzFHS0teIM4niV_gdDShEjs":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":87,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},11800,1168,1182,2582,"معیار خط افقی برای تشخیص تابع: نمودار یک رابطه تابع است اگر هر خط موازی محور عرض‌ها آن را حداکثر در یک نقطه قطع کند",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6OHm6z8rHNZj2HZ4nA0F_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"مقاله آموزشی معیار خط افقی برای تشخیص توابع\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">معیار خط افقی: آزمونی بصری برای تشخیص توابع یک‌به‌یک\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">با استفاده از خطوط موازی محور عرض‌ها، ماهیت توابع و وجود معکوس‌پذیری را بررسی کنید.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">خلاصه:\u003C\u002Fstrong> معیار خط افقی\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">[1]\u003C\u002Fspan> یا آزمون خط افقی، روشی گرافیکی برای تعیین این است که آیا یک تابع، «یک‌به‌یک»\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">[2]\u003C\u002Fspan> است یا خیر. اگر هیچ خط افقی (موازی محور عرض‌ها) نتواند نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن تابع یک‌به‌یک نامیده می‌شود. این ویژگی ارتباط مستقیمی با مفهوم «معکوس‌پذیری» توابع دارد و در کنار معیار خط قائم (برای تشخیص تابع بودن یک رابطه) یکی از پایه‌های مهم تحلیل ریاضی در دوره دبیرستان است. در این مقاله با زبانی ساده و مثال‌های متنوع، این مفهوم را بررسی می‌کنیم.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۱. از معیار خط قائم تا معیار خط افقی: گذری بر مفاهیم پایه\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>پیش از ورود به بحث اصلی، لازم است با دو مفهوم کلیدی آشنا شویم: \u003Cstrong>رابطه\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>تابع\u003C\u002Fstrong>. به زبان ساده، هر قانون که به ورودی‌ها، خروجی‌هایی را نسبت دهد، یک رابطه است. اما یک رابطه زمانی تابع نامیده می‌شود که هر ورودی (مقدار \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">x\u003C\u002Fspan>) دقیقاً یک خروجی (مقدار \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">y\u003C\u002Fspan>) داشته باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>برای تشخیص تابع بودن یک رابطه از روی نمودار، از \u003Cstrong>معیار خط قائم\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">[3]\u003C\u002Fspan> استفاده می‌کنیم: اگر بتوان خطی موازی محور طول‌ها (محور \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">x\u003C\u002Fspan>) رسم کرد که نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن رابطه یک تابع نیست. اما وقتی مطمئن شدیم یک رابطه تابع است، سوال مهم دیگری مطرح می‌شود: آیا این تابع \u003Cstrong>یک‌به‌یک\u003C\u002Fstrong> است؟ یعنی آیا هر خروجی منحصراً از یک ورودی خاص حاصل شده است؟ اینجاست که \u003Cstrong>معیار خط افقی\u003C\u002Fstrong> وارد عمل می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه معیارهای خط قائم و افقی\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">معیار خط قائم\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">معیار خط افقی\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">جهت خط\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">عمودی (موازی محور \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">y\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">افقی (موازی محور \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">x\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">هدف\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تشخیص تابع بودن رابطه\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تشخیص یک‌به‌یک بودن تابع\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">شرط قبولی\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">هر خط عمودی، حداکثر در یک نقطه قطع کند.\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">هر خط افقی، حداکثر در یک نقطه قطع کند.\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">نتیجه مثبت\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">رابطه یک تابع است.\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تابع یک‌به‌یک است (معکوس‌پذیر\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">[4]\u003C\u002Fspan>).\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۲. مفهوم یک‌به‌یک بودن و ارتباط آن با خط افقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>یک تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">f\u003C\u002Fspan> را یک‌به‌یک می‌نامیم اگر به ازای دو ورودی متمایز، دو خروجی متمایز داشته باشیم. به عبارت دیگر، اگر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">x\u003Csub>1\u003C\u002Fsub> ≠ x\u003Csub>2\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fspan> آن‌گاه \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">f(x\u003Csub>1\u003C\u002Fsub>) ≠ f(x\u003Csub>2\u003C\u002Fsub>)\u003C\u002Fspan>. در نمودار تابع، این ویژگی به این معناست که یک مقدار \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">y\u003C\u002Fspan> مشخص (یک عرض مشخص) نمی‌تواند متعلق به دو نقطه متفاوت از تابع باشد. اگر خطی افقی به معادله \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">y = k\u003C\u002Fspan> رسم کنیم، این خط تمام نقاطی از تابع را که دارای عرض \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">k\u003C\u002Fspan> هستند، نشان می‌دهد. بنابراین:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \"> رد شدن از آزمون \u003C\u002Fspan> اگر خط افقی، نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، یعنی دو ورودی متفاوت وجود دارند که خروجی یکسانی دارند (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">f(a)=f(b)=k\u003C\u002Fspan>). پس تابع یک‌به‌یک نیست.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \"> قبول شدن در آزمون \u003C\u002Fspan> اگر هیچ خط افقی نتواند نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، یعنی هیچ دو ورودی متمایزی خروجی یکسان ندارند. پس تابع یک‌به‌یک است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>نکته فرمولی:\u003C\u002Fstrong> برای اثبات یک‌به‌یک بودن یک تابع به روش جبری، از شرط زیر استفاده می‌کنیم:\r\n\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f(x_1)=f(x_2) \\implies x_1=x_2$\u003C\u002Fspan>\r\nکه دقیقاً معادل مفهوم معیار خط افقی است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۳. مثال‌های عینی و کاربردی از معیار خط افقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>فرض کنید مشغول تماشای فیلمی هستید و میزان رضایت خود را از فیلم بر حسب زمان، به صورت یک عدد از \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">10\u003C\u002Fspan> ثبت می‌کنید. این یک رابطه است (زمان به عنوان ورودی و میزان رضایت به عنوان خروجی). اگر در یک لحظه خاص، دو احساس متفاوت داشته باشید (مثلاً هم راضی باشید هم ناراضی)، آن لحظه دو خروجی خواهد داشت و این رابطه یک تابع نخواهد بود (رد شدن از معیار خط قائم).\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>حال فرض کنید این رابطه یک تابع است. می‌خواهیم بدانیم آیا می‌توان برعکس این کار را کرد؟ یعنی از روی میزان رضایت، به زمان دقیق آن در فیلم پی برد؟ اگر تابع یک‌به‌یک باشد، این کار ممکن است. زیرا هر میزان رضایت (هر خروجی) فقط متعلق به یک لحظه خاص (یک ورودی) است. در نمودار، این بدان معناست که اگر خطی افقی در یک میزان رضایت مشخص (مثلاً \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">8\u003C\u002Fspan>) رسم کنیم، باید فقط یک نقطه از نمودار را قطع کند. اگر دو لحظه مختلف از فیلم، میزان رضایت \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">8\u003C\u002Fspan> را ثبت کرده باشند، آن‌گاه خط افقی مربوطه نمودار را در دو نقطه قطع خواهد کرد و تابع یک‌به‌یک نخواهد بود. در این صورت، نمی‌توان به طور قطعی گفت که رضایت \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">8\u003C\u002Fspan> مربوط به کدام لحظه از فیلم است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۴. کاربرد عملی: تشخیص معکوس‌پذیری توابع\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>مهمترین کاربرد معیار خط افقی، تعیین \u003Cstrong>معکوس‌پذیری\u003C\u002Fstrong> یک تابع است. تنها توابعی معکوس دارند\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">[5]\u003C\u002Fspan> که یک‌به‌یک باشند. زیرا تابع معکوس قرار است به هر خروجی، ورودی متناظر را نسبت دهد. اگر یک خروجی متعلق به دو ورودی متفاوت باشد، تابع معکوس برای آن خروجی، دو مقدار متفاوت خواهد داشت و دیگر یک تابع نخواهد بود. بنابراین، پیش از یافتن معکوس یک تابع، همیشه باید با آزمون خط افقی، یک‌به‌یک بودن آن را بررسی کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>برای مثال، تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. خط افقی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y=4$\u003C\u002Fspan> نمودار این تابع (یک سهمی) را در دو نقطه \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=2$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=-2$\u003C\u002Fspan> قطع می‌کند. بنابراین این تابع یک‌به‌یک نیست و در کل دامنه اعداد حقیقی، معکوس‌پذیر نیست. اما اگر دامنه آن را به \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x \\ge 0$\u003C\u002Fspan> محدود کنیم، آن‌گاه هر خط افقی، نمودار را تنها در یک نقطه قطع خواهد کرد و تابع معکوس‌پذیر می‌شود (که همان \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f^{-1}(x)=\\sqrt{x}$\u003C\u002Fspan> است).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول بررسی چند تابع معروف\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تابع\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نمودار\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نتیجه آزمون خط افقی\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">یک‌به‌یک؟\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=3x+1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">خط راست\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">عبور از همه خطوط در یک نقطه\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">بله\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">سهمی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">خطوط بالای صفر در دو نقطه\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">خیر\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=|x|$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">شکل V\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">خطوط بالای صفر در دو نقطه\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">خیر\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=\\sin x$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">موج سینوسی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">خطوط بین \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1-\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> در بی‌نهایت نقطه\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">خیر\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=e^x$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">نمایی صعودی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">هر خط فقط در یک نقطه\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">بله\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۵. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>❓ چالش ۱: آیا توابع ثابت در آزمون خط افقی قبول می‌شوند؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n✅ خیر. تابع ثابت مانند \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=c$\u003C\u002Fspan> به صورت یک خط افقی است. بنابراین خط افقی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y=c$\u003C\u002Fspan> با تمام نقاط تابع (بینهایت نقطه) منطبق است و آن را در بیش از یک نقطه (در واقع همه نقاط) قطع می‌کند. پس تابع ثابت یک‌به‌یک نیست.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>❓ چالش ۲: اگر تابعی در آزمون خط قائم قبول شود اما در آزمون خط افقی رد شود، به چه معناست؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n✅ یعنی رابطه مورد نظر یک تابع است (شرط تابعیت را دارد) اما یک‌به‌یک نیست. برای مثال، تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> یک تابع است (چون هر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> یک \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan> دارد) اما یک‌به‌یک نیست (چون دو \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> مختلف می‌توانند یک \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan> ایجاد کنند). چنین توابعی معکوس‌پذیر نیستند مگر اینکه دامنه‌شان محدود شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>❓ چالش ۳: آیا می‌توان گفت هر تابع صعودی اکید یا نزولی اکید، یک‌به‌یک است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n✅ بله، کاملاً درست است. توابعی که همواره در حال افزایش (صعودی اکید) یا همواره در حال کاهش (نزولی اکید) هستند، هرگز یک مقدار \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan> را برای دو \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> متفاوت تکرار نمی‌کنند. بنابراین، هر خط افقی حداکثر یک بار نمودار آنها را قطع می‌کند. برای مثال، \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=x^3$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=\\ln x$\u003C\u002Fspan> از این دسته هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> معیار خط افقی ابزاری ساده و بصری برای تشخیص توابع یک‌به‌یک است. این آزمون مکمل ضروری معیار خط قائم بوده و نقش کلیدی در تعیین معکوس‌پذیری توابع دارد. با رسم چند خط افقی فرضی روی نمودار یک تابع، می‌توان به سرعت فهمید که آیا تابع، شرط لازم برای داشتن معکوس را دارد یا خیر. تسلط بر این مفهوم، درک عمیق‌تری از جبر توابع و رفتار آن‌ها در ریاضیات دبیرستان و دوره‌های بعدی فراهم می‌کند.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>معیار خط افقی (Horizontal Line Test):\u003C\u002Fstrong> روشی گرافیکی برای تعیین یک‌به‌یک بودن یک تابع. اگر هر خط افقی، نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع کند، تابع یک‌به‌یک است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>تابع یک‌به‌یک (One-to-One Function \u002F Injective Function):\u003C\u002Fstrong> تابعی که در آن، هر عنصر از برد (مقادیر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">y\u003C\u002Fspan>)، تصویر دقیقاً یک عنصر از دامنه (مقادیر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">x\u003C\u002Fspan>) باشد. به عبارت دیگر، اگر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x_1 \\neq x_2$\u003C\u002Fspan> آن‌گاه \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x_1) \\neq f(x_2)$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>معیار خط قائم (Vertical Line Test):\u003C\u002Fstrong> روشی گرافیکی برای تشخیص تابع بودن یک رابطه. اگر هر خط عمودی، نمودار رابطه را حداکثر در یک نقطه قطع کند، آن رابطه یک تابع است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>معکوس‌پذیر (Invertible):\u003C\u002Fstrong> به تابعی گویند که بتوان برای آن یک تابع معکوس یافت. شرط لازم و کافی برای معکوس‌پذیری یک تابع، یک‌به‌یک بودن آن است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>تابع معکوس (Inverse Function):\u003C\u002Fstrong> تابعی است که اثر تابع اصلی را خنثی می‌کند. اگر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f$\u003C\u002Fspan> یک‌به‌یک باشد، آن‌گاه تابع معکوس آن که با \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f^{-1}$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود، دارای خاصیت \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f^{-1}(f(x)) = x$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(f^{-1}(y)) = y$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"معیار خط افقی برای تشخیص تابع","ریاضی دهم","پایه دهم",0,"2026-02-25 18:03:42","2026-07-17 14:06:11","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F6","14:06 1405\u002F04\u002F26",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,239,245,254,262,270,278,286,294,302,310],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":230},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":240,"title":224,"cat":199,"pic":241,"up_date":242,"title_url":227,"url":243,"legacy_url":244,"cat_title":211,"update_jalali":230},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":246,"title":247,"cat":199,"pic":248,"up_date":249,"title_url":250,"url":251,"legacy_url":252,"cat_title":211,"update_jalali":253},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":255,"title":256,"cat":199,"pic":257,"up_date":258,"title_url":259,"url":260,"legacy_url":261,"cat_title":211,"update_jalali":253},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":263,"title":264,"cat":199,"pic":265,"up_date":266,"title_url":267,"url":268,"legacy_url":269,"cat_title":211,"update_jalali":253},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":271,"title":272,"cat":199,"pic":273,"up_date":274,"title_url":275,"url":276,"legacy_url":277,"cat_title":211,"update_jalali":253},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":279,"title":280,"cat":199,"pic":281,"up_date":282,"title_url":283,"url":284,"legacy_url":285,"cat_title":211,"update_jalali":253},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":287,"title":288,"cat":199,"pic":289,"up_date":290,"title_url":291,"url":292,"legacy_url":293,"cat_title":211,"update_jalali":253},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":295,"title":296,"cat":199,"pic":297,"up_date":298,"title_url":299,"url":300,"legacy_url":301,"cat_title":211,"update_jalali":253},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":303,"title":304,"cat":199,"pic":305,"up_date":306,"title_url":307,"url":308,"legacy_url":309,"cat_title":211,"update_jalali":253},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":311,"title":312,"cat":199,"pic":313,"up_date":314,"title_url":315,"url":316,"legacy_url":317,"cat_title":211,"update_jalali":253},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]