[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11691":193,"$fBlKbCf_19mvaJ2zQTJ0PRQ3xojQz3sLuQQJ50nfBK44":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},11691,1168,1182,2582,"برد تابع: مجموعه مؤلفه‌های دوم زوج‌های مرتبِ یک تابع",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPmh9wiPR6u8w6VOKftDJ_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"برد تابع: مجموعه مؤلفه‌های دوم زوج‌های مرتب\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n    \u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">برد تابع: مجموعه مؤلفه‌های دوم زوج‌های مرتبِ یک تابع\u003C\u002Fh2>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">آموزش مفهومی برد توابع، تفاوت آن با هم‌دامنه و روش‌های یافتن آن به زبانی ساده\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n        \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">خلاصه:\u003C\u002Fstrong> برد یک تابع\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; margin: 0 4px; : \">[1]\u003C\u002Fspan> که با \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$R_f$\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود، مجموعه تمام مؤلفه‌های دوم (خروجی‌ها) در زوج‌های مرتب آن تابع است. در این مقاله می‌آموزیم که چگونه برد یک تابع از روی زوج‌های مرتب، نمودار و ضابطه تعیین می‌شود. با مفهوم هم‌دامنه\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; margin: 0 4px; : \">[2]\u003C\u002Fspan> آشنا شده و تفاوت آن را با برد بررسی می‌کنیم. همچنین با مثال‌های متنوع، روش‌های محاسبه برد برای توابع خطی، درجه دوم و گویا\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; margin: 0 4px; : \">[3]\u003C\u002Fspan> را قدم‌به‌قدم فرا می‌گیریم.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">1. مفاهیم پایه‌ای: از زوج مرتب تا برد تابع\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>برای درک درست \u003Cstrong>برد تابع\u003C\u002Fstrong>، ابتدا باید با مفاهیم بنیادی آن آشنا شویم. یک تابع، قاعده یا قانونی است که به هر عضو از یک مجموعه (که آن را \u003Cstrong>دامنه\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; margin: 0 4px; : \">[4]\u003C\u002Fspan> می‌نامیم)، دقیقاً یک عضو از مجموعه‌ی دیگر (که می‌تواند \u003Cstrong>هم‌دامنه\u003C\u002Fstrong> باشد) را نسبت می‌دهد [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:2\u003C\u002Fa>]. این تناظر را معمولاً با \u003Cstrong>زوج‌های مرتب\u003C\u002Fstrong> نشان می‌دهیم.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>یک زوج مرتب مانند \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(x, y)$\u003C\u002Fspan> از دو بخش تشکیل شده است: مؤلفه‌ی اول (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>) که همان ورودی یا عضو دامنه است، و مؤلفه‌ی دوم (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan>) که خروجی متناظر با آن ورودی محسوب می‌شود. حالا به زبان ساده:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">دامنه:\u003C\u002Fstrong> مجموعه‌ای از تمام مؤلفه‌های اول (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها) در زوج‌های مرتب یک تابع است.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">برد:\u003C\u002Fstrong> مجموعه‌ای از تمام مؤلفه‌های دوم (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan>ها) در زوج‌های مرتب یک تابع است [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:4\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cstrong>✨ نکته‌ی طلایی:\u003C\u002Fstrong> در مجموعه‌ها، اعضا تکرار نمی‌شوند. بنابراین اگر یک مقدار خروجی (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan>) چندین بار در زوج‌های مرتب ظاهر شود، در مجموعه‌ی برد فقط \u003Cstrong>یک بار\u003C\u002Fstrong> نوشته می‌شود.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۱:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f$\u003C\u002Fspan> با زوج‌های مرتب زیر داده شده است:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv dir=\"ltr\" style=\"text-align: center; margin: 8px 0; : \">$f = \\{(1, 5), (2, 7), (3, 5), (4, 9), (5, 7)\\}$\u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003Cp>در این تابع:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n        \u003Cli>دامنه: مجموعه‌ی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1, 2, 3, 4, 5\\}$\u003C\u002Fspan> است (همه‌ی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها).\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>برد: مجموعه‌ی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{5, 7, 9\\}$\u003C\u002Fspan> است. دقت کنید که اعداد \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$7$\u003C\u002Fspan> دو بار تکرار شده‌اند، اما در برد فقط یک بار نوشته شده‌اند.\u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">2. برد در برابر هم‌دامنه: تفاوت را جدی بگیرید!\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>یکی از رایج‌ترین اشتباهات دانش‌آموزان، یکی گرفتن دو مفهوم \u003Cstrong>برد\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>هم‌دامنه\u003C\u002Fstrong> است. هم‌دامنه مجموعه‌ای است که به عنوان مقصد و خروجی‌های احتمالی تابع در نظر گرفته می‌شود، اما ممکن است تابع به همه‌ی اعضای آن نرسد [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:2\u003C\u002Fa>]. در حالی که \u003Cstrong>برد، مجموعه خروجی‌های واقعی و تحقق‌یافته تابع است\u003C\u002Fstrong> و همیشه زیرمجموعه‌ای از هم‌دامنه می‌باشد [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:5\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>برای روشن شدن موضوع، تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x) = x^2$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید که از مجموعه اعداد حقیقی (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>) به مجموعه اعداد حقیقی (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>) تعریف شده است. یعنی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>. در اینجا هم‌دامنه، مجموعه‌ی همه‌ی اعداد حقیقی (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>) است. اما آیا این تابع می‌تواند اعداد منفی را به عنوان خروجی تولید کند؟ خیر، زیرا مربع هر عدد حقیقی، همیشه نامنفی است. بنابراین برد واقعی این تابع، مجموعه اعداد حقیقی نامنفی (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}^{\\ge 0}$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$[0, +\\infty)$\u003C\u002Fspan>) خواهد بود [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:4\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه برد و هم‌دامنه\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n        \u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n            \u003Cthead>\r\n                \u003Ctr>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">برد (Range)\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">هم‌دامنه (Codomain)\u003C\u002Fth>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Fthead>\r\n            \u003Ctbody>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">تعریف\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مجموعه مقادیر واقعی خروجی تابع\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مجموعه مقادیر احتمالی خروجی (مقصد تابع)\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">رابطه با تابع\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">بر اساس خروجی‌های واقعی تعیین می‌شود.\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">از پیش در تعریف تابع مشخص می‌شود.\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">مثال برای تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> با دامنه \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$[0, +\\infty)$\u003C\u002Fspan> (اعداد حقیقی نامنفی)\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> (همه اعداد حقیقی)\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Ftbody>\r\n        \u003C\u002Ftable>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">3. روش‌های کاربردی یافتن برد توابع\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>یافتن برد همیشه به سادگی مثال بالا نیست. در ادامه، سه روش رایج برای تعیین برد را با مثال بررسی می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n    \r\n    \u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">روش اول: استفاده از نمودار تابع\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>ساده‌ترین راه برای یافتن برد، استفاده از نمودار تابع است. کافی است نمودار تابع را رسم کنیم. سپس برد، مجموعه‌ی مقادیری از محور \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan>ها است که نمودار روی آنها قرار می‌گیرد [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:4\u003C\u002Fa>]. به عنوان مثال، نمودار تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x) = x^2$\u003C\u002Fspan> یک سهمی رو به بالا با رأس در مبدأ است. با نگاه به محور \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan>ها می‌بینیم که نمودار از نقطه‌ی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0$\u003C\u002Fspan> شروع شده و به سمت بالا ادامه می‌یابد. پس برد \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$[0, +\\infty)$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n    \r\n    \u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">روش دوم: تحلیل ضابطه‌ی تابع (روش جبری)\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>در این روش، با استفاده از ویژگی‌های ریاضی، دامنه‌ی مقادیر خروجی را مشخص می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">توابع خطی:\u003C\u002Fstrong> تابعی به شکل \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=ax+b$\u003C\u002Fspan> با \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\ne 0$\u003C\u002Fspan>، دارای برد تمام اعداد حقیقی (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>) است.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">توابع درجه دوم:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=ax^2+bx+c$\u003C\u002Fspan> به شکل سهمی است. اگر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\gt 0$\u003C\u002Fspan> باشد، سهمی رو به بالا بوده و برد \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$[y_{min}, +\\infty)$\u003C\u002Fspan> است. اگر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\lt 0$\u003C\u002Fspan> باشد، سهمی رو به پایین بوده و برد \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(-\\infty, y_{max}]$\u003C\u002Fspan> است. (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y_{min}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y_{max}$\u003C\u002Fspan> مختصات رأس سهمی هستند).\u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n    \u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۲:\u003C\u002Fstrong> برد تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x) = x^2 + 4x + 1$\u003C\u002Fspan> را بیابید.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>حل: این یک تابع درجه دوم با \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a=1 \\gt 0$\u003C\u002Fspan> است. مختصات رأس: \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x_v = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2} = -2$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y_v = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 -8 + 1 = -3$\u003C\u002Fspan>. بنابراین برد برابر است با \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$[-3, +\\infty)$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n    \r\n    \u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۳ (کاربرد در مسائل واقعی):\u003C\u002Fstrong> فرض کنید تابع مساحت یک مربع بر حسب ضلع آن، \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$A(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> با دامنه‌ی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x \\gt 0$\u003C\u002Fspan> باشد. اگر ضلع‌های \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1, 2, 3$\u003C\u002Fspan> را داشته باشیم، زوج‌های مرتب \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(1, 1)$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(2, 4)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(3, 9)$\u003C\u002Fspan> خواهیم داشت و برد برابر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1, 4, 9\\}$\u003C\u002Fspan> است [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:4\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">4. مثال عینی: سیم را کجا ببریم؟\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>یک سیم به طول \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> متر داریم. می‌خواهیم آن را به دو قسمت تبدیل کنیم و از هر قسمت یک مربع بسازیم. اگر طول یک قسمت را \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> متر بگیریم، مساحت کل مربع‌ها برابر است با \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y = (\\frac{x}{4})^2 + (\\frac{4-x}{4})^2$\u003C\u002Fspan> [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:5\u003C\u002Fa>]. با ساده‌سازی به تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x) = \\frac{2x^2 - 8x + 16}{16} = \\frac{x^2}{8} - \\frac{x}{2} + 1$\u003C\u002Fspan> می‌رسیم. اگرچه ضابطه برای همه‌ی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>های حقیقی تعریف شده است، اما دامنه‌ی مسئله فقط \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0 \\lt x \\lt 4$\u003C\u002Fspan> است. با محاسبه‌ی رأس این سهمی که رو به بالاست، مقدار کمینه‌ی مساحت \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$0.5$\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید. اما مقدار بیشینه‌ای که به نظرمی‌رسد در نقاط \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=0$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=4$\u003C\u002Fspan> رخ دهد، یعنی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan>، قابل دستیابی نیست (چون سیم را به دو قسمت تبدیل نمی‌کنیم). بنابراین برد واقعی تابع در این مسئله، بازه‌ی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$[0.5, 1)$\u003C\u002Fspan> است. توجه کنید که \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> هرچند در هم‌دامنه است، اما در برد قرار نمی‌گیرد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n    \r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">❓ اگر در یک تابع، دو ورودی متفاوت خروجی یکسانی داشته باشند، آیا آن خروجی دو بار در برد نوشته می‌شود؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0; : \">پاسخ: خیر. همانطور که گفتیم، برد یک \u003Cstrong>مجموعه\u003C\u002Fstrong> است و اعضای آن یکتا هستند. آن خروجی فقط یک بار در برد ظاهر می‌شود. برای مثال، در تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f = \\{(1, 3), (2, 3)\\}$\u003C\u002Fspan>، برد مجموعه \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{3\\}$\u003C\u002Fspan> است [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:4\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">❓ آیا ممکن است برد یک تابع با هم‌دامنه آن برابر باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0; : \">پاسخ: بله. در این حالت می‌گوییم تابع \u003Cstrong>پوشا\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; margin: 0 4px; : \">[5]\u003C\u002Fspan> است. یعنی تابع به تمام اعضای هم‌دامنه خود رسیده است و هیچ عضو بدون استفاده‌ای در هم‌دامنه باقی نمانده است. برای مثال تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=2x+1$\u003C\u002Fspan> با دامنه و هم‌دامنه اعداد حقیقی، یک تابع پوشا است [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:4\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n    \r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">❓ اگر دامنه یک تابع یک مجموعه نامتناهی باشد، آیا برد آن نیز همیشه نامتناهی است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0; : \">پاسخ: خیر. ممکن است تابعی با دامنه نامتناهی، برد متناهی داشته باشد. برای مثال، تابع \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x) = 1$\u003C\u002Fspan> (تابع ثابت) برای هر ورودی از مجموعه اعداد حقیقی، خروجی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> می‌دهد. بنابراین دامنه آن \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> (نامتناهی) و برد آن مجموعه \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1\\}$\u003C\u002Fspan> (متناهی) است [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:4\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n        \u003Cp style=\"margin: 0; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">نکته پایانی:\u003C\u002Fstrong> برد تابع، تصویر کامل دامنه تحت قانون تابع است. این مفهوم نه تنها در ریاضیات محض، بلکه در علوم کامپیوتر، آمار و مدل‌سازی پدیده‌های مختلف کاربرد دارد. درک درست آن به ما کمک می‌کند تا محدوده خروجی‌های یک سیستم را بهتر بشناسیم و تحلیل کنیم [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; font-weight: 500; : \">citation:4\u003C\u002Fa>]. به خاطر داشته باشید که \u003Cstrong>برد، مجموعه‌ی مؤلفه‌های دوم زوج‌های مرتب یک تابع است، بدون تکرار.\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"font-size: 13px; color: #667085; : \">\r\n        \u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>تابع (Function):\u003C\u002Fstrong> رابطه‌ای که به هر عنصر از یک مجموعه (دامنه)، دقیقاً یک عنصر از مجموعه دیگر (هم‌دامنه) را نسبت می‌دهد [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; : \">citation:2\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>هم‌دامنه (Codomain):\u003C\u002Fstrong> مجموعه‌ای که تابع مقادیر خود را از میان آنها انتخاب می‌کند (مقصد تابع) [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; : \">citation:4\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>تابع گویا (Rational Function):\u003C\u002Fstrong> تابعی که به صورت خارج قسمت دو چندجمله‌ای تعریف می‌شود، مانند \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=\\frac{P(x)}{Q(x)}$\u003C\u002Fspan> [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; : \">citation:1\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>دامنه (Domain):\u003C\u002Fstrong> مجموعه تمام ورودی‌های ممکن برای یک تابع [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; : \">citation:2\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>تابع پوشا (Surjective Function):\u003C\u002Fstrong> تابعی که در آن برد با هم‌دامنه برابر است [\u003Ca href=\"#\" style=\"color: #ffb600; text-decoration: none; : \">citation:4\u003C\u002Fa>].\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"برد تابع","ریاضی دهم","پایه دهم",0,128,"2026-02-24 17:32:27","2026-07-19 02:40:13","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F5","2:40 1405\u002F04\u002F28",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]