[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"blogPost-11624":3,"categoryMenus":28,"$fF5uE4NRkSteXQiI9UpbfL2Q8uGsVVyq3LN6qzq52vRY":215},{"id":4,"section":5,"base":6,"course":7,"lesson":8,"title":9,"cat":10,"pic":11,"info_graphic":12,"podcast":12,"body":13,"tags":14,"metadata":12,"featured":18,"status":19,"views":20,"subdate":21,"up_date":22,"first_name":23,"last_name":24,"avatar":12,"cat_title":25,"subdate_jalali":26,"update_jalali":27},11624,67,1168,1182,2582,"برد تابع: مجموعه مؤلفه‌های دوم زوج‌های مرتبِ یک تابع",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F11624zfM3OhASzYtmMmml0a2j_800.png",null,"\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"برد تابع: مجموعه مؤلفه‌های دوم زوج‌های مرتب یک تابع\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n    \u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">برد تابع: مجموعه مؤلفه‌های دوم بدون تکرار\u003C\u002Fh2>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">در این مقاله با زبانی ساده می‌آموزیم که برد یک تابع مجموعه‌ای از تمام خروجی‌های ممکن است و هیچ خروجی تکراری در آن جایی ندارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv class=\"summary-box\" style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n        \u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">خلاصه:\u003C\u002Fstrong> برد یک تابع\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> شامل تمام مقادیری است که تابع به عنوان خروجی تولید می‌کند. ویژگی کلیدی این است که در مجموعه برد، مؤلفه‌های دوم زوج‌های مرتب (خروجی‌ها) یک بار ظاهر می‌شوند و تکرار ندارند. با بررسی مفهوم تابع\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>، دامنه\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> و زوج‌های مرتب\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>، به درک عمیقی از این موضوع می‌رسیم و تفاوت آن با مفهوم هم‌دامنه\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> را بررسی می‌کنیم.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۱. مفاهیم پایه: تابع، زوج مرتب و دامنه\u003C\u002Fh3>\r\n    برای درک برد، ابتدا باید با اصول اولیه آشنا شویم. یک تابع در ریاضیات، رابطه‌ای بین دو مجموعه است که به هر عضو مجموعه اول (ورودی)، دقیقاً یک عضو از مجموعه دوم (خروجی) را نسبت می‌دهد. این رابطه را با استفاده از زوج‌های مرتب نشان می‌دهیم.\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>زوج مرتب:\u003C\u002Fstrong> نمایشی از یک رابطه به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(x, y)\u003C\u002Fspan> است که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">x\u003C\u002Fspan> را مؤلفه اول و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">y\u003C\u002Fspan> را مؤلفه دوم می‌نامیم. در یک تابع، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">x\u003C\u002Fspan> همان ورودی و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">y\u003C\u002Fspan> همان خروجی متناظر با آن است.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>دامنه:\u003C\u002Fstrong> مجموعه‌ای است از تمام مؤلفه‌های اول (ورودی‌ها) در زوج‌های مرتب یک تابع. به عبارت دیگر، دامنه نشان می‌دهد که تابع بر روی چه مقادیری تعریف شده است.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>برد:\u003C\u002Fstrong> مجموعه‌ای است از تمام مؤلفه‌های دوم (خروجی‌ها) که در زوج‌های مرتب یک تابع ظاهر می‌شوند. نکته کلیدی این است که در این مجموعه، هر خروجی فقط یک بار نوشته می‌شود، حتی اگر در چندین زوج مرتب تکرار شده باشد.\u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n    \u003Cdiv class=\"tip-box\" style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cstrong>مثال:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f = \\{(1, 5), (2, 7), (3, 5), (4, 9)\\}$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1, 2, 3, 4\\}$\u003C\u002Fspan> است. برد این تابع مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{5, 7, 9\\}$\u003C\u002Fspan> است. دقت کنید که عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> دو بار به عنوان خروجی ظاهر شده، اما در مجموعه برد فقط یک بار نوشته شده است.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۲. چرا مجموعه برد شامل مقادیر تکراری نیست؟\u003C\u002Fh3>\r\n    این سوال اساسی برای بسیاری از دانش‌آموزان پیش می‌آید. دلیل آن به تعریف یک مجموعه در ریاضیات برمی‌گردد. یک مجموعه، گروهی از اشیاء متمایز و مشخص است. در مجموعه‌ها، اعضا یا عناصر، هویت یکتا دارند و تکرار یک عضو چند بار، مفهوم ندارد. به عبارت دیگر، مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1, 2, 2, 3\\}$\u003C\u002Fspan> با مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1, 2, 3\\}$\u003C\u002Fspan> یکی است. بنابراین، وقتی از برد به عنوان یک مجموعه صحبت می‌کنیم، به طور خودکار خاصیت یکتایی اعضا در آن رعایت می‌شود.\r\n    \u003Cbr>\u003Cbr>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cstrong>نکته کاربردی:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید تابعی، دمای یک شهر را در طول هفته ثبت می‌کند. زوج‌های مرتب به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(روز, دما)\u003C\u002Fspan> هستند. اگر دمای دوشنبه و سه‌شنبه هر دو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲۵\u003C\u002Fspan> درجه باشد، برد این تابع مجموعه‌ای از تمام دماهای ثبت‌شده در هفته است، بدون در نظر گرفتن اینکه کدام دما چند بار تکرار شده. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲۵\u003C\u002Fspan> فقط یک بار در برد ظاهر می‌شود.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۳. برد در برابر هم‌دامنه (Codomain)\u003C\u002Fh3>\r\n    یکی از نقاطی که دانش‌آموزان را دچار اشتباه می‌کند، تفاوت بین برد و هم‌دامنه است. هم‌دامنه مجموعه‌ای است که به عنوان مقصد تابع تعریف می‌شود و ممکن است شامل مقادیری باشد که تابع هرگز به آن‌ها نمی‌رسد. اما برد مجموعه‌ای از مقادیری است که تابع واقعاً به آن‌ها می‌رسد و زیرمجموعه‌ای از هم‌دامنه است.\r\n    \u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسه برد و هم‌دامنه\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n        \u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n            \u003Cthead>\r\n                \u003Ctr>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">برد (Range)\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">هم‌دامنه (Codomain)\u003C\u002Fth>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Fthead>\r\n            \u003Ctbody>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تعریف\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مجموعه مقادیر واقعی خروجی تابع\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مجموعه مقادیر احتمالی خروجی (مقصد تابع)\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">رابطه با تابع\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">بر اساس خروجی‌های واقعی تعیین می‌شود.\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">از پیش تعریف شده است.\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مثال با تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> روی اعداد حقیقی\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$[0, +\\infty)$\u003C\u002Fspan> (اعداد حقیقی نامنفی)\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> (همه اعداد حقیقی)\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Ftbody>\r\n        \u003C\u002Ftable>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۴. روش‌های یافتن برد توابع\u003C\u002Fh3>\r\n    برای یافتن برد توابع مختلف، روش‌های گوناگونی وجود دارد که در ادامه به چند مورد مهم اشاره می‌کنیم:\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>روش نموداری:\u003C\u002Fstrong> با رسم نمودار تابع، برد مجموعه مقادیری از محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">y\u003C\u002Fspan>ها است که نمودار روی آن‌ها می‌افتد.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>توابع خطی:\u003C\u002Fstrong> توابعی به فرم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=ax+b$\u003C\u002Fspan> (با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\ne 0$\u003C\u002Fspan>) دارای برد همه اعداد حقیقی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>) هستند.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>\u003Cstrong>توابع درجه دوم:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=ax^2+bx+c$\u003C\u002Fspan> دارای یک سهمی است. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\gt 0$\u003C\u002Fspan> باشد، برد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$[y_{min}, +\\infty)$\u003C\u002Fspan> و اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\lt 0$\u003C\u002Fspan> باشد، برد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(-\\infty, y_{max}]$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n    \u003Cdiv class=\"tip-box\" style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cstrong>مثال عینی:\u003C\u002Fstrong> تابع مساحت یک مربع بر حسب ضلع آن، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$A(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> با دامنه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x \\gt 0$\u003C\u002Fspan> است. اگر ضلع‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۳\u003C\u002Fspan> را داشته باشیم، زوج‌های مرتب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(1, 1)$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(2, 4)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(3, 9)$\u003C\u002Fspan> خواهیم داشت و برد برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1, 4, 9\\}$\u003C\u002Fspan> است.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۵. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp>\u003Cstrong>❓ سوال ۱:\u003C\u002Fstrong> اگر در یک تابع، دو ورودی متفاوت خروجی یکسانی داشته باشند، آیا آن خروجی دو بار در برد نوشته می‌شود؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cdiv style=\"margin-top: 8px; padding: 8px 12px; background: #ffffff; border-radius: 8px; color: #344054; : \">\r\n            \u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. همانطور که گفتیم، برد یک مجموعه است و اعضای آن یکتا هستند. آن خروجی فقط یک بار در برد ظاهر می‌شود. برای مثال، در تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f = \\{(1, 3), (2, 3)\\}$\u003C\u002Fspan>، برد مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{3\\}$\u003C\u002Fspan> است.\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp>\u003Cstrong>❓ سوال ۲:\u003C\u002Fstrong> آیا ممکن است برد یک تابع با هم‌دامنه آن برابر باشد؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cdiv style=\"margin-top: 8px; padding: 8px 12px; background: #ffffff; border-radius: 8px; color: #344054; : \">\r\n            \u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله. در این حالت می‌گوییم تابع پوشا\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> است. یعنی تابع به تمام اعضای هم‌دامنه خود رسیده است و هیچ عضو بدون استفاده‌ای در هم‌دامنه باقی نمانده است.\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp>\u003Cstrong>❓ سوال ۳:\u003C\u002Fstrong> اگر دامنه یک تابع یک مجموعه نامتناهی باشد، آیا برد آن نیز همیشه نامتناهی است؟\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cdiv style=\"margin-top: 8px; padding: 8px 12px; background: #ffffff; border-radius: 8px; color: #344054; : \">\r\n            \u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. ممکن است تابعی با دامنه نامتناهی، برد متناهی داشته باشد. برای مثال، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x) = 1$\u003C\u002Fspan> (تابع ثابت) برای هر ورودی از مجموعه اعداد حقیقی، خروجی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> می‌دهد. بنابراین دامنه آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> (نامتناهی) و برد آن مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1\\}$\u003C\u002Fspan> (متناهی) است.\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv class=\"summary-box\" style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n        \u003Cstrong>نکته پایانی:\u003C\u002Fstrong> برد تابع، تصویر کامل دامنه تحت قانون تابع است. این مفهوم نه تنها در ریاضیات محض، بلکه در علوم کامپیوتر، آمار و مدل‌سازی پدیده‌های مختلف کاربرد دارد. درک درست آن به ما کمک می‌کند تا محدوده خروجی‌های یک سیستم را بهتر بشناسیم و تحلیل کنیم.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"font-size: 12px; color: #667085; line-height: 1.6; : \">\r\n        \u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>تابع (Function):\u003C\u002Fstrong> رابطه‌ای که به هر عنصر از یک مجموعه (دامنه)، دقیقاً یک عنصر از مجموعه دیگر (هم‌دامنه) را نسبت می‌دهد.\u003Cbr>\r\n        \u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>دامنه (Domain):\u003C\u002Fstrong> مجموعه تمام ورودی‌های ممکن برای یک تابع.\u003Cbr>\r\n        \u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>زوج مرتب (Ordered Pair):\u003C\u002Fstrong> دو عنصر که به ترتیب خاصی نوشته می‌شوند، معمولاً به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(a, b)\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n        \u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>برد (Range):\u003C\u002Fstrong> مجموعه تمام مقادیری که تابع از اعمال قانون خود بر روی دامنه تولید می‌کند.\u003Cbr>\r\n        \u003Csup>5\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>هم‌دامنه (Codomain):\u003C\u002Fstrong> مجموعه‌ای که تابع مقادیر خود را از میان آن‌ها انتخاب می‌کند (مقصد تابع).\u003Cbr>\r\n        \u003Csup>6\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>تابع پوشا (Surjective Function):\u003C\u002Fstrong> تابعی که در آن برد با هم‌دامنه برابر است.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[15,16,17],"برد تابع","ریاضی دهم","پایه دهم",0,1,164,"2026-02-23 23:20:15","2026-02-24 11:34:16","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F4","11:34 1404\u002F12\u002F5",{"status":19,"data":29},[30,69,129,147,167],{"id":19,"title":31,"list_order":19,"items":32},"آشنایی",[33,38,42,46,53,57,61,65],{"id":34,"link":35,"type":36,"slug":12,"title":37},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content","قوانین و مقررات",{"id":39,"link":40,"type":36,"slug":12,"title":41},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":43,"link":44,"type":36,"slug":12,"title":45},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":47,"link":48,"type":49,"slug":50,"handler":51,"title":52},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":54,"link":55,"type":36,"slug":12,"title":56},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":58,"link":59,"type":36,"slug":12,"title":60},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":62,"link":63,"type":36,"slug":12,"title":64},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":66,"link":67,"type":36,"slug":12,"title":68},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":70,"title":71,"list_order":19,"items":72},2,"المپیادها",[73,77,81,85,89,93,97,101,105,109,113,117,121,125],{"id":74,"link":75,"type":36,"slug":12,"title":76},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":78,"link":79,"type":36,"slug":12,"title":80},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":82,"link":83,"type":36,"slug":12,"title":84},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":86,"link":87,"type":36,"slug":12,"title":88},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":90,"link":91,"type":36,"slug":12,"title":92},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":94,"link":95,"type":36,"slug":12,"title":96},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":98,"link":99,"type":36,"slug":12,"title":100},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":102,"link":103,"type":36,"slug":12,"title":104},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":106,"link":107,"type":36,"slug":12,"title":108},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":110,"link":111,"type":36,"slug":12,"title":112},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":114,"link":115,"type":36,"slug":12,"title":116},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":118,"link":119,"type":36,"slug":12,"title":120},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":122,"link":123,"type":36,"slug":12,"title":124},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":126,"link":127,"type":36,"slug":12,"title":128},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":130,"title":131,"list_order":19,"items":132},3,"نمونه و تیزهوشان",[133,137,142],{"id":134,"link":135,"type":36,"slug":12,"title":136},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":138,"link":139,"type":49,"slug":140,"handler":140,"title":141},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":143,"link":144,"type":49,"slug":145,"handler":145,"title":146},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":148,"title":149,"list_order":19,"items":150},7,"کتابهای درسی",[151,155,159,163],{"id":152,"link":153,"type":36,"slug":12,"title":154},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":156,"link":157,"type":36,"slug":12,"title":158},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":160,"link":161,"type":36,"slug":12,"title":162},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":164,"link":165,"type":36,"slug":12,"title":166},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":34,"title":168,"list_order":34,"items":169},"پیشنهاد ویژه",[170,175,180,185,190,195,200,203,207,211],{"id":171,"link":172,"type":49,"slug":173,"handler":173,"title":174},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":176,"link":177,"type":49,"slug":178,"handler":178,"title":179},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":181,"link":182,"type":49,"slug":183,"handler":183,"title":184},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":186,"link":187,"type":49,"slug":188,"handler":188,"title":189},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":191,"link":192,"type":49,"slug":193,"handler":193,"title":194},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":196,"link":197,"type":36,"slug":198,"title":199},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":5,"link":201,"type":36,"slug":12,"title":202},"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":204,"link":205,"type":36,"slug":12,"title":206},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":208,"link":209,"type":36,"slug":12,"title":210},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":212,"link":213,"type":36,"slug":12,"title":214},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":10,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":25,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":10,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":25,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":10,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":25,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":10,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":25,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":10,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":25,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":10,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":25,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":10,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":25,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":10,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":25,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":10,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":25,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":10,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":25,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":10,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":25,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":10,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":25,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]