[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11557":193,"$fplPSqHhci_84qdI28pB8dqQ3mSUlTaWD9_kL7dFAznw":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":205,"status":4,"views":206,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},11557,1169,1171,3860,"زیرمجموعه و زیرمجموعهٔ محض",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F11557lEemIsH2NDWYrJvk0WUY_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"زیرمجموعه و زیرمجموعه محض\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">زیرمجموعه و زیرمجموعه محض: از عضویت تا شمول کامل\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-bottom: 16px; margin-top: 4px; opacity: .95\">مفاهیم بنیادی نظریه مجموعه‌ها شامل رابطه شمول، تفاوت زیرمجموعه بودن با برابر بودن، و نمادهای ریاضی مرتبط\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله با مفهوم «زیرمجموعه» و «زیرمجموعه محض» آشنا می‌شویم. یاد می‌گیریم که چگونه یک مجموعه می‌تواند درون مجموعه دیگری قرار گیرد، تفاوت میان نماد ⊆ و ⊂ چیست و چگونه می‌توان از روی اعضای یک مجموعه، رابطه آن با مجموعه دیگر را تشخیص داد. مثال‌های متعدد از دنیای اعداد و زندگی روزمره، درک این مفاهیم کلیدی ریاضی را آسان‌تر خواهد کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تعریف زیرمجموعه: رابطه شمول\u003C\u002Fh3>\r\nدر نظریه مجموعه‌ها، رابطه «زیرمجموعه بودن» یک رابطه بنیادی است. وقتی می‌گوییم مجموعه A زیرمجموعه مجموعه B است، یعنی هر عضوی از A، عضو B نیز هست. به زبان ساده‌تر، همه اعضای A در داخل B قرار دارند. برای نمایش این رابطه از نماد ⊆ استفاده می‌کنیم.\u003Cbr>\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>مثال ریاضی:\u003C\u002Fstrong> مجموعه اعداد طبیعی زوج را در نظر بگیرید. مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">{2,4,6}\u003C\u002Fspan> یک زیرمجموعه از مجموعه اعداد زوج است، زیرا تمام اعضای آن (2، 4 و 6) در مجموعه اعداد زوج وجود دارند. همچنین هر مجموعه‌ای زیرمجموعه‌ای از خودش محسوب می‌شود. برای مثال، مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">{a,b,c}\u003C\u002Fspan> زیرمجموعه‌ای از خودش است، چون هر عضوی از آن در خودش وجود دارد.\u003Cbr>\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>مثال روزمره:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید مجموعه «حروف الفبای فارسی» را داریم. مجموعه «حروف صدادار فارسی» (ا، و، ی) یک زیرمجموعه از مجموعه کل حروف الفبا است، زیرا هر حرف صدادار، یک حرف الفبا نیز هست.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">فرمول\u003C\u002Fspan> رابطه زیرمجموعه بودن به صورت منطقی تعریف می‌شود: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A \\subseteq B \\iff \\forall x (x \\in A \\Rightarrow x \\in B)$\u003C\u002Fspan>. یعنی A زیرمجموعه B است اگر و تنها اگر به ازای هر عضو دلخواه x، اگر x عضو A باشد، آن‌گاه x عضو B نیز هست.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">زیرمجموعه محض: کوچکتر از اصلی\u003C\u002Fh3>\r\nزیرمجموعه محض که با نام زیرمجموعه اکید یا سره نیز شناخته می‌شود، حالت خاصی از رابطه زیرمجموعه است. مجموعه A یک زیرمجموعه محض از مجموعه B نامیده می‌شود اگر دو شرط زیر با هم برقرار باشند:\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>A زیرمجموعه B باشد (یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A \\subseteq B$\u003C\u002Fspan>).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>A با B برابر نباشد (یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A \\neq B$\u003C\u002Fspan>).\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\nبه عبارت دیگر، A مجموعه‌ای است که کاملاً درون B جا گرفته، اما B اعضای بیشتری نسبت به A دارد. برای نمایش این رابطه از نماد ⊂ استفاده می‌کنیم (البته در کتاب‌ها از ⊊ برای تأکید بر نابرابری استفاده می‌شود).\u003Cbr>\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>مثال ریاضی:\u003C\u002Fstrong> مجموعه اعداد طبیعی فرد، یک زیرمجموعه محض از مجموعه اعداد طبیعی است. زیرا همه اعداد فرد، طبیعی هستند (شرط اول)، اما اعداد زوج نیز در مجموعه اعداد طبیعی وجود دارند که در مجموعه اعداد فرد نیستند، بنابراین این دو مجموعه با هم برابر نیستند (شرط دوم).\u003Cbr>\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>مثال روزمره:\u003C\u002Fstrong> مجموعه «دانش‌آموزان کلاس هشتم» یک زیرمجموعه محض از مجموعه «دانش‌آموزان یک مدرسه» است. چون هر دانش‌آموز کلاس هشتم، دانش‌آموز همان مدرسه است، اما دانش‌آموزان کلاس‌های دیگر هم در مدرسه هستند که عضو مجموعه کلاس هشتم نیستند.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مقایسه نمادها و مفاهیم در یک نگاه\u003C\u002Fh3>\r\nبرای درک بهتر تفاوت‌ها، جدول زیر می‌تواند بسیار مفید باشد. در این جدول، نمادها، مفهوم و یک مثال برای هر کدام آورده شده است.\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه مفاهیم زیرمجموعه\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مفهوم\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نماد\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">زیرمجموعه\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; direction: ltr; padding: 10px 12px; text-align: right\">⊆\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">همه اعضای A در B هستند.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">{1,3} ⊆ {1,3,5}\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">زیرمجموعه محض\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; direction: ltr; padding: 10px 12px; text-align: right\">⊂\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">A ⊆ B و A ≠ B\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">{1,3} ⊂ {1,3,5}\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مجموعه‌های برابر\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; direction: ltr; padding: 10px 12px; text-align: right\">=\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">A ⊆ B و B ⊆ A\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">{2,4} = {4,2}\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مجموعه تهی و رابطه آن با زیرمجموعه‌ها\u003C\u002Fh3>\r\nمجموعه تهی که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\emptyset$\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود، مجموعه‌ای است که هیچ عضوی ندارد. این مجموعه نقش بسیار مهمی در نظریه مجموعه‌ها دارد. یک قانون کلی و شاید جالب این است که مجموعه تهی، زیرمجموعه هر مجموعه‌ای است. چرا؟ چون برای اینکه مجموعه‌ای زیرمجموعه دیگری نباشد، باید عضوی در آن پیدا کنیم که در مجموعه دیگر نباشد. از آنجایی که مجموعه تهی هیچ عضوی ندارد، چنین عضوی وجود ندارد، پس شرط زیرمجموعه بودن به طور خودکار (تهی) برقرار است.\u003Cbr>\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>آیا مجموعه تهی یک زیرمجموعه محض است؟\u003C\u002Fstrong> بستگی دارد. مجموعه تهی زیرمجموعه محض هر مجموعه‌ای به جز خودش است. برای مثال، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\emptyset \\subset \\{1,2\\}$\u003C\u002Fspan> یک رابطه درست است، زیرا مجموعه تهی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">{1,2}\u003C\u002Fspan> برابر نیست. اما \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\emptyset \\subset \\emptyset$\u003C\u002Fspan> نادرست است، زیرا مجموعه تهی با خودش برابر است و شرط نابرابری برای زیرمجموعه محض برقرار نیست (در عوض، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\emptyset \\subseteq \\emptyset$\u003C\u002Fspan> درست است).\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: تشخیص رابطه بین مجموعه‌ها\u003C\u002Fh3>\r\nبرای تشخیص اینکه یک مجموعه، زیرمجموعه (محض) مجموعه دیگری است یا خیر، می‌توانیم مراحل زیر را دنبال کنیم. فرض کنید دو مجموعه A و B داریم.\r\n\r\n\u003Col style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>ابتدا بررسی می‌کنیم که آیا A زیرمجموعه B است یا خیر. یعنی آیا همه اعضای A در B یافت می‌شوند؟\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر پاسخ منفی است، پس A زیرمجموعه B نیست (نه ساده، نه محض).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر پاسخ مثبت است، اکنون باید بررسی کنیم که آیا A با B برابر است یا خیر؟ یعنی آیا همه اعضای B نیز در A هستند؟\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر A با B برابر باشد، آن‌گاه A یک زیرمجموعه (ساده) از B است، اما زیرمجموعه محض نیست.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر A با B برابر نباشد (یعنی عضوی در B وجود دارد که در A نیست)، آن‌گاه A یک زیرمجموعه محض از B است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\u003Cstrong>مثال عینی:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید مجموعه کتاب‌های یک کتابخانه (B) و مجموعه کتاب‌های علمی این کتابخانه (A) را داریم. می‌خواهیم رابطه بین A و B را تعیین کنیم.\u003Cbr>\r\nگام اول: آیا هر کتاب علمی، یک کتاب است؟ بله. پس A زیرمجموعه B است.\u003Cbr>\r\nگام دوم: آیا مجموعه کتاب‌ها با مجموعه کتاب‌های علمی برابر است؟ خیر، چون کتاب‌های داستانی، تاریخی و ... هم در کتابخانه وجود دارند که علمی نیستند.\u003Cbr>\r\nنتیجه: مجموعه کتاب‌های علمی، یک زیرمجموعه محض از مجموعه کل کتاب‌های کتابخانه است.\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cdiv style=\"margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>آیا می‌توان گفت که هر مجموعه، زیرمجموعه خودش است؟ چرا این موضوع اهمیت دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبله، هر مجموعه همیشه زیرمجموعه خودش است (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A \\subseteq A$\u003C\u002Fspan>). این ویژگی که خاصیت بازتابی نامیده می‌شود، برای تعریف «مجموعه‌های برابر» اهمیت اساسی دارد. دو مجموعه A و B برابر هستند اگر و فقط اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A \\subseteq B$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$B \\subseteq A$\u003C\u002Fspan>. بدون پذیرش اینکه هر مجموعه زیرمجموعه خودش است، این تعریف از تساوی مجموعه‌ها کار نمی‌کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>اگر A زیرمجموعه B باشد و B زیرمجموعه C، آیا می‌توان نتیجه گرفت A زیرمجموعه C است؟ در مورد زیرمجموعه محض چطور؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبله، در هر دو مورد این نتیجه برقرار است. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A \\subseteq B$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$B \\subseteq C$\u003C\u002Fspan>، آن‌گاه هر عضو A در B و هر عضو B در C است، پس هر عضو A در C است، یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A \\subseteq C$\u003C\u002Fspan>. اگر هر دو رابطه از نوع محض باشند (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A \\subset B$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$B \\subset C$\u003C\u002Fspan>)، باز هم نتیجه محض خواهد بود (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A \\subset C$\u003C\u002Fspan>)، زیرا A در B کوچکتر است و B در C کوچکتر، پس حتماً A در C کوچکتر است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>چرا نماد ∈ (عضویت) را با نماد ⊆ (زیرمجموعه) اشتباه می‌گیریم؟ تفاوت اصلی آنها چیست؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nتفاوت اصلی در سطح نگاه است. نماد ∈ رابطه بین یک \u003Cstrong>عضو\u003C\u002Fstrong> و یک \u003Cstrong>مجموعه\u003C\u002Fstrong> را نشان می‌دهد (مثلاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2 \\in \\{1,2,3\\}$\u003C\u002Fspan>). اما نماد ⊆ رابطه بین دو \u003Cstrong>مجموعه\u003C\u002Fstrong> را نشان می‌دهد (مثلاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\{2\\} \\subseteq \\{1,2,3\\}$\u003C\u002Fspan>). در مثال دوم، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">{2}\u003C\u002Fspan> خود یک مجموعه است، در حالی که در مثال اول، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">2\u003C\u002Fspan> یک عضو (عدد) است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله با دو مفهوم کلیدی در نظریه مجموعه‌ها آشنا شدیم. «زیرمجموعه» (⊆) به رابطه‌ای گفته می‌شود که در آن همه اعضای یک مجموعه، در مجموعه دیگر حضور دارند. «زیرمجموعه محض» (⊂) حالت خاصی است که علاوه بر شرط بالا، دو مجموعه با هم برابر نباشند. مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعه‌ای است. تشخیص این مفاهیم به درک عمیق‌تر ساختارهای ریاضی و حتی روابط روزمره کمک شایانی می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> زیرمجموعه (Subset): مجموعه‌ای که تمام اعضای آن در مجموعه‌ای دیگر عضو باشند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> زیرمجموعه محض (Proper Subset): زیرمجموعه‌ای که با مجموعه اصلی برابر نباشد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> مجموعه تهی (Empty Set): مجموعه‌ای که هیچ عضوی ندارد و با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\emptyset$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> نماد (Symbol): ⊆ برای زیرمجموعه و ⊂ برای زیرمجموعه محض.\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,198],"پایهٔ یازدهم","آمار و احتمال یازدهم",0,455,"2026-02-23 15:09:01","2026-02-23 16:34:59","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F4","16:34 1404\u002F12\u002F4",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,239,247,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},11453,"گزاره: جملهٔ خبری که فقط یکی از دو حالتِ درست یا نادرست را دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGJhX352uQ2imvdQMqQFN_200.png","2026-09-01 13:03:24","گزاره-جمله-خبری-که-فقط-یکی-از-دو-حالت-درست-یا-نادرست-را-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11453\u002Fگزاره-جمله-خبری-که-فقط-یکی-از-دو-حالت-درست-یا-نادرست-را-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11453\u002Fگزاره-جمله-خبری-که-فقط-یکی-از-دو-حالت-درست-یا-نادرست-را-دارد","1405\u002F06\u002F10",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":230},11454,"ارزش گزاره: درست یا نادرست بودنِ یک گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fl1CfINrCA7LnA4icdJD3_200.png","2026-09-01 13:00:16","ارزش-گزاره-درست-یا-نادرست-بودن-یک-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11454\u002Fارزش-گزاره-درست-یا-نادرست-بودن-یک-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11454\u002Fارزش-گزاره-درست-یا-نادرست-بودن-یک-گزاره",{"id":240,"title":241,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":211,"update_jalali":230},11472,"نماد درست (T یا د) و نماد نادرست (F یا ن): نشانه‌ای برای نمایش ارزش درستِ گزاره و نشانه‌ای برای نمایش ارزش نادرستِ گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJujDWd3FtoYmYh9iOmNW_200.png","2026-09-01 12:52:19","نماد-درست-T-یا-د-و-نماد-نادرست-F-یا-ن-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-درست-گزاره-و-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-نادرست-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11472\u002Fنماد-درست-T-یا-د-و-نماد-نادرست-F-یا-ن-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-درست-گزاره-و-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-نادرست-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11472\u002Fنماد-درست-T-یا-د-و-نماد-نادرست-F-یا-ن-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-درست-گزاره-و-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-نادرست-گزاره",{"id":248,"title":249,"cat":199,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":211,"update_jalali":230},11474,"جدول ارزش: جدولی که ارزش گزاره‌ها و ترکیب‌های آن‌ها را در همه حالت‌های ممکن نشان می‌دهد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FbSElQszLLJTvjkR2VKUa_200.png","2026-09-01 12:48:17","جدول-ارزش-جدولی-که-ارزش-گزارهها-و-ترکیبهای-آنها-را-در-همه-حالتهای-ممکن-نشان-میدهد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11474\u002Fجدول-ارزش-جدولی-که-ارزش-گزارهها-و-ترکیبهای-آنها-را-در-همه-حالتهای-ممکن-نشان-میدهد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11474\u002Fجدول-ارزش-جدولی-که-ارزش-گزارهها-و-ترکیبهای-آنها-را-در-همه-حالتهای-ممکن-نشان-میدهد",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":211,"update_jalali":230},11477,"نقیض گزاره: گزاره‌ای که ارزش آن برعکسِ ارزش گزارهٔ اصلی است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FeAQJ7MCq9WNrohlBrXin_200.png","2026-09-01 12:42:57","نقیض-گزاره-گزارهای-که-ارزش-آن-برعکس-ارزش-گزاره-اصلی-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11477\u002Fنقیض-گزاره-گزارهای-که-ارزش-آن-برعکس-ارزش-گزاره-اصلی-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11477\u002Fنقیض-گزاره-گزارهای-که-ارزش-آن-برعکس-ارزش-گزاره-اصلی-است",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":211,"update_jalali":230},11479,"نماد نقیض (∼ یا ¬): علامتی که نقیض یک گزاره را نشان می‌دهد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsCXYJtUCMVriciBJX9P6_200.png","2026-09-01 12:41:29","نماد-نقیض-یا-علامتی-که-نقیض-یک-گزاره-را-نشان-میدهد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11479\u002Fنماد-نقیض-یا-علامتی-که-نقیض-یک-گزاره-را-نشان-میدهد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11479\u002Fنماد-نقیض-یا-علامتی-که-نقیض-یک-گزاره-را-نشان-میدهد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":211,"update_jalali":230},11481,"هم ارز (هم‌ارزش): دو گزاره‌ای که در همه حالت‌ها ارزش یکسان دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F4livPgGCHVFOm3DI9AQC_200.png","2026-09-01 12:36:33","هم-ارز-همارزش-دو-گزارهای-که-در-همه-حالتها-ارزش-یکسان-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11481\u002Fهم-ارز-همارزش-دو-گزارهای-که-در-همه-حالتها-ارزش-یکسان-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11481\u002Fهم-ارز-همارزش-دو-گزارهای-که-در-همه-حالتها-ارزش-یکسان-دارند",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":211,"update_jalali":230},11483,"هم ارزی منطقی: رابطه‌ای که نشان می‌دهد دو گزاره در همه حالت‌ها هم‌ارز هستند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYkOgMioT4nrjvCW0bECA_200.png","2026-09-01 12:34:37","هم-ارزی-منطقی-رابطهای-که-نشان-میدهد-دو-گزاره-در-همه-حالتها-همارز-هستند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11483\u002Fهم-ارزی-منطقی-رابطهای-که-نشان-میدهد-دو-گزاره-در-همه-حالتها-همارز-هستند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11483\u002Fهم-ارزی-منطقی-رابطهای-که-نشان-میدهد-دو-گزاره-در-همه-حالتها-همارز-هستند",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":211,"update_jalali":230},11485,"گزاره نما: جملهٔ خبریِ دارای متغیر که با جایگذاری مقدار، به گزاره تبدیل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPCMx6d5PWVxaXRKeVryT_200.png","2026-09-01 12:32:33","گزاره-نما-جمله-خبری-دارای-متغیر-که-با-جایگذاری-مقدار-به-گزاره-تبدیل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11485\u002Fگزاره-نما-جمله-خبری-دارای-متغیر-که-با-جایگذاری-مقدار-به-گزاره-تبدیل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11485\u002Fگزاره-نما-جمله-خبری-دارای-متغیر-که-با-جایگذاری-مقدار-به-گزاره-تبدیل-میشود",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":211,"update_jalali":230},11488,"متغیر: نمادی مانند x که می‌تواند به جای آن مقادیر مختلف قرار گیرد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8d2ubEMmx4QOI43UL5u1_200.png","2026-09-01 12:30:25","متغیر-نمادی-مانند-x-که-میتواند-به-جای-آن-مقادیر-مختلف-قرار-گیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11488\u002Fمتغیر-نمادی-مانند-x-که-میتواند-به-جای-آن-مقادیر-مختلف-قرار-گیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11488\u002Fمتغیر-نمادی-مانند-x-که-میتواند-به-جای-آن-مقادیر-مختلف-قرار-گیرد",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":211,"update_jalali":230},11490,"دامنهٔ متغیر: مجموعهٔ مقادیری که مجاز است به جای متغیر در گزاره‌نما قرار گیرد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdHZmxOHdnu6iIkUPGUPJ_200.png","2026-09-01 12:26:11","دامنه-متغیر-مجموعه-مقادیری-که-مجاز-است-به-جای-متغیر-در-گزارهنما-قرار-گیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11490\u002Fدامنه-متغیر-مجموعه-مقادیری-که-مجاز-است-به-جای-متغیر-در-گزارهنما-قرار-گیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11490\u002Fدامنه-متغیر-مجموعه-مقادیری-که-مجاز-است-به-جای-متغیر-در-گزارهنما-قرار-گیرد",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":211,"update_jalali":230},11491,"مجموعهٔ جواب: مجموعهٔ اعضای دامنه که با جایگذاری آن‌ها، گزاره‌نما ارزش درست می‌گیرد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FXMPNwI33OLiO6yJT8Yna_200.png","2026-09-01 12:24:06","مجموعه-جواب-مجموعه-اعضای-دامنه-که-با-جایگذاری-آنها-گزارهنما-ارزش-درست-میگیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11491\u002Fمجموعه-جواب-مجموعه-اعضای-دامنه-که-با-جایگذاری-آنها-گزارهنما-ارزش-درست-میگیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11491\u002Fمجموعه-جواب-مجموعه-اعضای-دامنه-که-با-جایگذاری-آنها-گزارهنما-ارزش-درست-میگیرد"]