[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11550":193,"$f6VdOHnn7cicZ6xnYEDVlqsw89C_J2BjHQEW0OX8PT2o":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},11550,1168,1182,2582,"ریشه مضاعف: ریشه‌ای که در آن معادله درجه دوم دو ریشه برابر دارد (x1=x2)",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F11550FqREu1WokPQ043c7HTt4_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"ریشه مضاعف در معادله درجه دوم\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n    \u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">ریشه مضاعف: مفهومی کلیدی در معادلات درجه دوم\u003C\u002Fh2>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">بررسی حالت خاصی از معادله درجه دو که در آن دو ریشه با هم برابرند؛ همراه با تحلیل دلتا، رسم نمودار و مثال‌های متنوع\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n        در این مقاله با مفهوم ریشه مضاعف در معادله درجه دوم آشنا می‌شوید. شرط برابر بودن دو ریشه، یعنی ممیز\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \"> (Δ)\u003C\u002Fspan> صفر، نحوه محاسبه ریشه‌ها، تعبیر هندسی آن روی نمودار سهمی و کاربردهای آن در مسائل ریاضی و فیزیک بررسی خواهد شد. همچنین با حل مثال‌های متعدد، این مفهوم را به‌صورت گام‌به‌گام تمرین می‌کنیم.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۱. تعریف ریشه مضاعف و ارتباط آن با ممیز (دلتا)\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>\r\n        معادله درجه دوم به فرم کلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$ax^2 + bx + c = 0$\u003C\u002Fspan> (که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\neq 0$\u003C\u002Fspan>)، بسته به مقدار ممیز یا دلتا (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta$\u003C\u002Fspan>) می‌تواند دارای دو ریشه حقیقی متفاوت، یک ریشه حقیقی (یا دو ریشه برابر) و یا دو ریشه مختلط باشد. ممیز به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = b^2 - 4ac$\u003C\u002Fspan> محاسبه می‌شود.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>\r\n        حالت \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">ریشه مضاعف\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \"> (Double Root)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> زمانی رخ می‌دهد که مقدار ممیز دقیقاً برابر صفر باشد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\Delta = 0$\u003C\u002Fspan>). در این وضعیت، معادله دو ریشه حقیقی دارد که کاملاً با هم برابر هستند؛ یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x_1 = x_2$\u003C\u002Fspan>. به این ریشه، «ریشه مضاعف» یا «ریشه تکراری» می‌گویند. فرمول محاسبه این ریشه از رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}$\u003C\u002Fspan> و با قرار دادن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = 0$\u003C\u002Fspan> به صورت ساده‌تر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x = -\\frac{b}{2a}$\u003C\u002Fspan> در می‌آید.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n        \u003Cstrong>نکته مهم:\u003C\u002Fstrong> عبارت «ریشه مضاعف» به این معناست که معادله از نظر جبری دو ریشه دارد، اما این دو ریشه از نظر مقداری یکسان هستند. به بیان دیگر، معادله را می‌توان به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$a(x - x_1)^2 = 0$\u003C\u002Fspan> نوشت که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x_1$\u003C\u002Fspan> همان ریشه مضاعف است.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۲. تعبیر هندسی: نقطه تماس سهمی با محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>\r\n        نمودار معادله درجه دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$y = ax^2 + bx + c$\u003C\u002Fspan> یک سهمی است. ریشه‌های معادله، نقاط برخورد این سهمی با محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها (محور افقی) هستند.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n        \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta \\gt 0$\u003C\u002Fspan>، سهمی محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها را در دو نقطه مجزا قطع می‌کند.\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta \\lt 0$\u003C\u002Fspan>، سهمی محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها را قطع نمی‌کند (هیچ ریشه حقیقی ندارد).\u003C\u002Fli>\r\n        \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = 0$\u003C\u002Fspan>، سهمی محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها را در یک نقطه لمس می‌کند. در این حالت، رأس سهمی دقیقاً روی محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها قرار دارد و این نقطه، همان ریشه مضاعف است. به عبارت دیگر، محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها بر سهمی مماس می‌شود.\u003C\u002Fli>\r\n    \u003C\u002Ful>\r\n    \u003Cp>\r\n        برای مثال، معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$y = x^2 - 4x + 4$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. با محاسبه ممیز: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$\u003C\u002Fspan>. ریشه مضاعف آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x = -\\frac{-4}{2 \\times 1} = 2$\u003C\u002Fspan> است. نمودار این سهمی، محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها را در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(2, 0)$\u003C\u002Fspan> لمس می‌کند و این نقطه، رأس سهمی نیز هست.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۳. مثال‌های کاربردی و گام‌به‌گام از ریشه مضاعف\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۱:\u003C\u002Fstrong> مقادیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k$\u003C\u002Fspan> را بیابید به‌طوری که معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x^2 - 6x + k = 0$\u003C\u002Fspan> دارای ریشه مضاعف باشد. سپس آن ریشه را محاسبه کنید.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>\u003Cstrong>حل:\u003C\u002Fstrong> شرط ریشه مضاعف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\Delta = 0$\u003C\u002Fspan> است. در این معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a=1$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b=-6$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c=k$\u003C\u002Fspan>. بنابراین:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 36 - 4k$\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>با برابر قرار دادن با صفر: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$36 - 4k = 0 \\implies 4k = 36 \\implies k = 9$\u003C\u002Fspan>. حال ریشه مضاعف را حساب می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{(-6)}{2 \\times 1} = \\frac{6}{2} = 3$\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>بنابراین برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k=9$\u003C\u002Fspan>، معادله ریشه مضاعف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$\u003C\u002Fspan> خواهد داشت.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۲:\u003C\u002Fstrong> معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$2x^2 + 4x + m = 0$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. اگر این معادله دارای ریشه مضاعف باشد، مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$m$\u003C\u002Fspan> چقدر است و ریشه آن کدام است؟\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>\u003Cstrong>حل:\u003C\u002Fstrong> در اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a=2$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b=4$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c=m$\u003C\u002Fspan>. ممیز را صفر قرار می‌دهیم:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\Delta = (4)^2 - 4(2)(m) = 16 - 8m = 0 \\implies 8m = 16 \\implies m = 2$\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>ریشه مضاعف از رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x = -\\frac{b}{2a}$\u003C\u002Fspan> به‌دست می‌آید:\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x = -\\frac{4}{2 \\times 2} = -\\frac{4}{4} = -1$\u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>پس با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$m=2$\u003C\u002Fspan>، ریشه مضاعف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-1$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۴. کاربردهای عملی ریشه مضاعف در مسائل\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cp>\r\n        مفهوم ریشه مضاعف تنها محدود به کلاس ریاضی نیست. در فیزیک، وقتی معادله حرکت جسمی به صورت درجه دوم باشد، شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = 0$\u003C\u002Fspan> می‌تواند نشان‌دهنده حالت مرزی یا خاصی باشد. برای مثال، در مسائل مربوط به پرتاب گلوله\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>، ممکن است شرایطی پیش آید که جسم فقط در یک لحظه در ارتفاع معینی قرار گیرد. همچنین در طراحی سازه‌ها و بهینه‌سازی، گاهی نقاط بحرانی توابع درجه دوم که ریشه مضاعف هستند، بیانگر بیشینه یا کمینه بودن مقدار تابع در آن نقطه‌اند.\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n    \u003Cp>\r\n        مثال روایت کوتاه: فرض کنید یک شرکت، سود خود را بر اساس تعداد محصول تولیدی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> با تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$S(x) = -x^2 + 60x - 900$\u003C\u002Fspan> پیش‌بینی کند. می‌خواهیم بدانیم در چه تولیدی، سود صفر می‌شود؟ کافی است معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$S(x)=0$\u003C\u002Fspan> را حل کنیم. ممیز این معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = 60^2 - 4(-1)(-900) = 3600 - 3600 = 0$\u003C\u002Fspan> است. بنابراین ریشه مضاعف داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x = -\\frac{60}{2 \\times (-1)} = 30$\u003C\u002Fspan>. یعنی تنها در تولید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$30$\u003C\u002Fspan> واحد، سود شرکت صفر می‌شود و برای هر مقدار دیگر، سود منفی است (چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\lt 0$\u003C\u002Fspan>).\r\n    \u003C\u002Fp>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۵. چالش‌های مفهومی پیرامون ریشه مضاعف\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; : \">\r\n            \u003Cstrong>۱. آیا می‌توان گفت معادله‌ای با ریشه مضاعف، فقط یک ریشه دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n            پاسخ: از نظر ارزش عددی، خیر، اما از نظر جبری، خیر. معادله درجه دوم همیشه دو ریشه دارد (در مجموعه اعداد مختلط). وقتی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta=0$\u003C\u002Fspan>، این دو ریشه با هم برابر هستند. به همین دلیل به آن «مضاعف» می‌گویند. اگر بخواهیم معادله را به صورت تجزیه‌شده بنویسیم، به فرم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$a(x-x_1)^2=0$\u003C\u002Fspan> در می‌آید که توان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> نشان‌دهنده تکرار ریشه است.\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n        \u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; : \">\r\n            \u003Cstrong>۲. تفاوت ریشه مضاعف با حالت ممیز منفی چیست؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n            پاسخ: در حالت ممیز منفی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta \\lt 0$\u003C\u002Fspan>)، معادله دو ریشه حقیقی ندارد، بلکه دو ریشه مختلط دارد که هیچ‌کدام بر روی محور اعداد حقیقی نیستند. اما در ریشه مضاعف، دو ریشه حقیقی و برابر داریم که قابل نمایش روی محور اعداد هستند. از نظر نمودار، در حالت اول سهمی محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها را قطع نمی‌کند، در حالی که در حالت دوم آن را لمس می‌کند.\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n        \u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; : \">\r\n            \u003Cstrong>۳. آیا هر معادله‌ای که بتوان آن را به صورت مربع کامل نوشت، ریشه مضاعف دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n            پاسخ: دقیقاً. فرم مربع کامل یک معادله درجه دوم، مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$a(x - h)^2 + k = 0$\u003C\u002Fspan> است. این معادله فقط زمانی ریشه مضاعف دارد که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k = 0$\u003C\u002Fspan> باشد. در این حالت معادله به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a(x-h)^2 = 0$\u003C\u002Fspan> تبدیل می‌شود و ریشه مضاعف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x = h$\u003C\u002Fspan> خواهد بود. پس صرف مربع کامل بودن به معنای ریشه مضاعف نیست، بلکه باید ثابت جمله مستقل صفر باشد.\r\n        \u003C\u002Fdiv>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۶. جدول مقایسه حالات مختلف معادله درجه دوم\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه حالات مختلف معادله درجه دوم بر اساس دلتا\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n        \u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n            \u003Cthead>\r\n                \u003Ctr>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مقدار ممیز (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع ریشه‌ها\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعبیر هندسی (برخورد با محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها)\u003C\u002Fth>\r\n                    \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال\u003C\u002Fth>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Fthead>\r\n            \u003Ctbody>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta \\gt 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">دو ریشه حقیقی متفاوت\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">سهمی محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها را در دو نقطه قطع می‌کند\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^2-5x+6=0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">یک ریشه حقیقی (مضاعف)\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">سهمی محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها را لمس می‌کند (مماس)\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^2-4x+4=0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n                \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta \\lt 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">دو ریشه مختلط (غیرحقیقی)\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">سهمی محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها را قطع نمی‌کند\u003C\u002Ftd>\r\n                    \u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^2+x+1=0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n                \u003C\u002Ftr>\r\n            \u003C\u002Ftbody>\r\n        \u003C\u002Ftable>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n        \u003Cstrong>نتیجه‌گیری نهایی:\u003C\u002Fstrong> ریشه مضاعف حالت خاصی از معادله درجه دوم است که در آن دو ریشه با هم برابرند. شرط وقوع آن، صفر بودن ممیز (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = 0$\u003C\u002Fspan>) است. از نظر هندسی، این به معنای مماس بودن سهمی بر محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>ها در نقطه رأس است. درک این مفهوم برای حل مسائل بهینه‌سازی، فیزیک و تحلیل توابع درجه دوم بسیار حیاتی است.\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n    \u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n    \u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n        \u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>پرتاب گلوله (Projectile Motion):\u003C\u002Fstrong> در فیزیک، به حرکت یک جسم تحت تأثیر نیروی گرانش گفته می‌شود که مسیر آن معمولاً به صورت یک سهمی است.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>ممیز (Discriminant):\u003C\u002Fstrong> در جبر، عبارتی است که در مورد معادله درجه دوم (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ax^2+bx+c=0$\u003C\u002Fspan>) به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = b^2 - 4ac$\u003C\u002Fspan> تعریف می‌شود و ماهیت ریشه‌ها را مشخص می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n        \u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>سهمی (Parabola):\u003C\u002Fstrong> منحنی حاصل از رسم تابع درجه دوم که شکلی متقارن دارد و دارای یک نقطه ماکزیمم یا مینیمم به نام رأس است.\u003C\u002Fp>\r\n    \u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"ریشه مضاعف","ریاضی دهم","پایه دهم",0,184,"2026-02-23 14:27:52","2026-02-23 14:56:11","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F4","14:56 1404\u002F12\u002F4",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]