[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11410":193,"$fmW-7IaXor0KM1DEIT1CCoynMT_5IefT7LM3a61m3Eyg":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},11410,1168,1182,2582,"شکل استاندارد معادله درجه دوم: معادله‌ای به صورت ax^2+bx+c=0 که در آن a≠0 و a,b,c حقیقی‌اند",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F11410Gb6aaXbCIzilLaI2MIMW_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"مقاله شکل استاندارد معادله درجه دوم\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">شکل استاندارد معادله درجه دوم: از نظریه تا کاربرد\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">تحلیل عمیق معادلات درجه دوم، اجزای آن، روش‌های حل و کاربردهایش در مسائل جهان واقعی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nمعادله درجه دوم یکی از پایه‌ای‌ترین مفاهیم در ریاضیات دبیرستان است. در این مقاله با شکل استاندارد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ax^2+bx+c=0$\u003C\u002Fspan> آشنا می‌شویم، نقش ضرایب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan> را بررسی کرده و روش‌های حل شامل فاکتورگیری، تکمیل مربع و فرمول کلی را با مثال‌های عددی و کاربردی یاد می‌گیریم. همچنین به مفهوم ممیز\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> و تاثیر آن بر نوع ریشه‌ها\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> خواهیم پرداخت.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">شناخت اجزای معادله درجه دوم\u003C\u002Fh3>\r\nمعادله درجه دوم به شکل کلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ax^2+bx+c=0$\u003C\u002Fspan> نوشته می‌شود که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan> ضرایبی حقیقی هستند و شرط اساسی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\neq 0$\u003C\u002Fspan> است. دلیل این شرط آن است که اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a=0$\u003C\u002Fspan> باشد، معادله به یک معادله خطی تبدیل می‌شود. هر یک از این ضرایب نقش مهمی در شکل نمودار و نوع جواب‌های معادله دارند.\r\n\r\n\u003Cbr>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">ضریب a\u003C\u002Fspan> تعیین‌کننده جهت باز شدن سهمی است. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\gt 0$\u003C\u002Fspan> باشد، سهمی رو به بالا و اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\lt 0$\u003C\u002Fspan> باشد، سهمی رو به پایین است. ضریب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b$\u003C\u002Fspan> بر موقعیت محور تقارن تأثیر می‌گذارد و ضریب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan> مقدار عرض از مبدأ\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> را مشخص می‌کند.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">روش‌های حل معادله درجه دوم\u003C\u002Fh3>\r\nبرای حل یک معادله درجه دوم و یافتن ریشه‌های آن، سه روش اصلی وجود دارد که هر کدام در شرایط خاصی کاربرد دارند.\r\n\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">۱. روش فاکتورگیری:\u003C\u002Fstrong> اگر معادله به صورت حاصل‌ضرب دو عبارت خطی قابل تجزیه باشد، ریشه‌ها به سادگی به دست می‌آیند. برای مثال، معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^2-5x+6=0$\u003C\u002Fspan> به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(x-2)(x-3)=0$\u003C\u002Fspan> نوشته می‌شود و ریشه‌ها عبارتند از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=2$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=3$\u003C\u002Fspan>.\r\n\r\n\u003Cbr>\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">۲. روش تکمیل مربع:\u003C\u002Fstrong> در این روش، معادله را به صورت یک مربع کامل به اضافه یک عدد ثابت می‌نویسیم. برای معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^2+6x+5=0$\u003C\u002Fspan>، داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^2+6x+9-9+5=0 \\Rightarrow (x+3)^2-4=0 \\Rightarrow (x+3)^2=4$\u003C\u002Fspan> و در نتیجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x+3=\\pm 2$\u003C\u002Fspan> که ریشه‌ها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=-1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=-5$\u003C\u002Fspan> هستند.\r\n\r\n\u003Cbr>\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">۳. روش فرمول کلی (فرمول حل معادله درجه دوم):\u003C\u002Fstrong> این روش عمومی‌ترین راه حل است و برای همه معادلات درجه دوم کاربرد دارد. فرمول کلی به صورت زیر است:\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مفهوم و کاربرد ممیز (دلتا)\u003C\u002Fh3>\r\nعبارت زیر رادیکال در فرمول کلی، یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = b^2-4ac$\u003C\u002Fspan>، ممیز\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> نام دارد که ماهیت ریشه‌های معادله را مشخص می‌کند.\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول بررسی ممیز\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مقدار ممیز (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع ریشه‌ها\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال عددی\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta \\gt 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">دو ریشه حقیقی متمایز\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^2-3x+2=0$\u003C\u002Fspan> (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta=1$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">یک ریشه حقیقی مضاعف\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^2-4x+4=0$\u003C\u002Fspan> (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta=0$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta \\lt 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">دو ریشه مختلط (غیرحقیقی)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^2+x+1=0$\u003C\u002Fspan> (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta=-3$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>نکته مهم:\u003C\u002Fstrong> در معادلاتی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta \\lt 0$\u003C\u002Fspan> می‌گوییم معادله در مجموعه اعداد حقیقی جواب ندارد، اما در مجموعه اعداد مختلط دارای دو جواب است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی در مسائل فیزیک و هندسه\u003C\u002Fh3>\r\nمعادلات درجه دوم تنها یک مفهوم انتزاعی نیستند، بلکه در حل مسائل عینی و روزمره کاربرد فراوانی دارند.\r\n\r\n\u003Cstrong>مثال ۱ (مساحت مستطیل):\u003C\u002Fstrong> فرض کنید طول یک مستطیل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> متر از عرض آن بیشتر است و مساحتش برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$150$\u003C\u002Fspan> متر مربع می‌باشد. اگر عرض را \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> بگیریم، طول برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x+5$\u003C\u002Fspan> خواهد بود. معادله مساحت به صورت زیر است:\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x(x+5)=150 \\Rightarrow x^2+5x-150=0$\u003C\u002Fspan>\r\nبا استفاده از فرمول کلی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a=1, b=5, c=-150$\u003C\u002Fspan>)، ممیز برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = (5)^2-4(1)(-150)=25+600=625$\u003C\u002Fspan> و جواب‌ها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x = \\frac{-5 \\pm 25}{2}$\u003C\u002Fspan> هستند. از دو جواب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=10$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=-15$\u003C\u002Fspan>، جواب منفی به دلیل مفهوم طول غیرقابل قبول است. بنابراین عرض برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$10$\u003C\u002Fspan> متر و طول برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$15$\u003C\u002Fspan> متر خواهد بود.\r\n\r\n\u003Cbr>\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>مثال ۲ (حرکت شتاب‌دار):\u003C\u002Fstrong> در فیزیک، معادله مکان–زمان برای حرکت با شتاب ثابت به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x = x_0 + v_0t + \\frac{1}{2}at^2$\u003C\u002Fspan> است. اگر جسمی از مکان اولیه صفر با سرعت اولیه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$10 m\u002Fs$\u003C\u002Fspan> و شتاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-2 m\u002Fs^2$\u003C\u002Fspan> شروع به حرکت کند، زمان رسیدن به مکان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$24$\u003C\u002Fspan> متری از مبدأ از معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$24 = 10t - t^2$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$t^2 - 10t + 24 = 0$\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید که ریشه‌های آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$t=4$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$t=6$\u003C\u002Fspan> ثانیه هستند.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 12px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cstrong>❓ چرا در شکل استاندارد حتماً باید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\neq 0$\u003C\u002Fspan> باشد؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\u003Cbr>\r\nاگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a=0$\u003C\u002Fspan> باشد، جمله درجه دوم حذف شده و معادله به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$bx+c=0$\u003C\u002Fspan> در می‌آید که یک معادله خطی است. این معادله حداکثر یک جواب دارد، در حالی که ویژگی اصلی معادله درجه دوم داشتن دو جواب (حقیقی یا مختلط) است. همچنین نمودار آن به جای سهمی، یک خط راست خواهد بود.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 12px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cstrong>❓ چگونه می‌توان بدون محاسبه ممیز، به تعداد ریشه‌های حقیقی یک معادله درجه دوم پی برد؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\u003Cbr>\r\nدر موارد خاص می‌توان از روی ضرایب تخمین زد. مثلاً اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan> علامت مخالف داشته باشند (یکی مثبت و دیگری منفی)، حتماً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta \\gt 0$\u003C\u002Fspan> خواهد بود و معادله دو ریشه حقیقی متمایز دارد. زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b^2-4ac$\u003C\u002Fspan> با منفی شدن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ac$\u003C\u002Fspan>، به مقدار مثبت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b^2$\u003C\u002Fspan> یک عدد مثبت دیگر اضافه می‌شود.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 12px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cstrong>❓ جمع و حاصل‌ضرب دو ریشه یک معادله درجه دوم چه رابطه‌ای با ضرایب آن دارد؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\u003Cbr>\r\nبرای معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ax^2+bx+c=0$\u003C\u002Fspan> با ریشه‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x_1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x_2$\u003C\u002Fspan>، داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}$\u003C\u002Fspan>. این روابط بسیار مفید هستند؛ مثلاً اگر بدانیم یکی از ریشه‌ها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> است، می‌توانیم دیگری را بدون حل معادله پیدا کنیم.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cstrong>نگاه نهایی:\u003C\u002Fstrong> شکل استاندارد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ax^2+bx+c=0$\u003C\u002Fspan> نه تنها یک چهارچوب منظم برای دسته‌بندی معادلات درجه دوم فراهم می‌کند، بلکه با معرفی مفاهیمی مانند ممیز و روابط بین ریشه‌ها، درک عمیق‌تری از رفتار این توابع به ما می‌دهد. تسلط بر روش‌های حل این معادلات، ابزاری قدرتمند برای حل مسائل پیچیده‌تر در ریاضیات، فیزیک، مهندسی و اقتصاد به شمار می‌رود.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"font-size: 13px; color: #667085; : \">\r\n\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ممیز (Discriminant): عبارتی در ریاضیات که در مورد معادله درجه دوم به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\Delta = b^2-4ac$\u003C\u002Fspan> تعریف می‌شود و نوع ریشه‌های معادله را مشخص می‌کند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> ریشه‌ها (Roots): مقادیری از متغیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> که در معادله صدق کرده و آن را به یک تساوی صحیح تبدیل می‌کنند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> عرض از مبدأ (y-intercept): نقطه‌ای که نمودار تابع، محور عمودی (محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan>ها) را قطع می‌کند. برای تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=ax^2+bx+c$\u003C\u002Fspan>، عرض از مبدأ برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan> است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"شکل استاندارد معادله درجه دوم","ریاضی دهم","پایه دهم",0,252,"2026-02-21 19:50:44","2026-02-22 12:26:38","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F2","12:26 1404\u002F12\u002F3",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]