[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11404":193,"$fcUnH3b0ZV8fEsJsWCSZwKwgKhyL7famP540w09oDbi0":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},11404,1168,1182,2582,"حاصل‌ضرب مزدوج‌ها: رابطه (√a+√b)(√a−√b)=a−b که برای گویا کردن به کار می‌رود",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1140496ZsPLth3U3wpFEbRJPE_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"حاصل‌ضرب مزدوج‌ها: کلید گویا کردن عبارت‌های رادیکالی\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">حاصل‌ضرب مزدوج‌ها: از رابطهٔ جادویی تا گویا‌سازی عبارت‌های رادیکالی\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">آشنایی با اتحاد (√a+√b)(√a−√b)=a−b و کاربرد آن در ساده‌سازی کسرهای دارای رادیکال، رفع رادیکال از مخرج کسرها و حل معادلات\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nدر این مقاله با یکی از پرکاربردترین اتحادهای جبری در مقطع دبیرستان آشنا می‌شویم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt{a}+\\sqrt{b})(\\sqrt{a}-\\sqrt{b})=a-b$\u003C\u002Fspan>. این رابطه که به \u003Cstrong>اتحاد مزدوج\u003C\u002Fstrong> معروف است، ابزاری اساسی برای \u003Cstrong>گویا کردن مخرج کسرها\u003C\u002Fstrong>، \u003Cstrong>ساده‌سازی عبارت‌های رادیکالی\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>حل معادلات\u003C\u002Fstrong> به شمار می‌رود. با بررسی گام‌به‌گام مثال‌های متنوع، جدول مقایسه روش‌ها و پاسخ به پرسش‌های چالشی، کاربرد این رابطه را در عمل فرا خواهید گرفت.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۱. ریشه‌های یک اتحاد ساده اما قدرتمند\u003C\u002Fh3>\r\n\r\nاتحاد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt{a}+\\sqrt{b})(\\sqrt{a}-\\sqrt{b})=a-b$\u003C\u002Fspan> در نگاه اول بسیار شبیه به اتحاد مزدوج معمولی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$\u003C\u002Fspan> است. تنها تفاوت در این است که متغیرهای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan> با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt{a}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt{b}$\u003C\u002Fspan> جایگزین شده‌اند. این جایگزینی ساده، دریچه‌ای به سوی دنیای جدیدی از محاسبات می‌گشاید.\r\n\r\nبرای اثبات این رابطه، کافی است ضرب را به کمک قانون توزیع‌پذیری انجام دهیم:\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; vertical-align: baseline; text-align: left; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$(\\sqrt{a}+\\sqrt{b})(\\sqrt{a}-\\sqrt{b}) = \\sqrt{a}\\sqrt{a} - \\sqrt{a}\\sqrt{b} + \\sqrt{b}\\sqrt{a} - \\sqrt{b}\\sqrt{b}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; vertical-align: baseline; text-align: left; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$= a - \\sqrt{ab} + \\sqrt{ab} - b = a - b$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\nهمان‌طور که مشاهده می‌کنید، دو عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-\\sqrt{ab}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$+\\sqrt{ab}$\u003C\u002Fspan> هم‌ارز شده و حذف می‌شوند. در نتیجه، حاصل ضرب دو عبارت به ظاهر رادیکالی، یک عدد گویا (بدون رادیکال) خواهد بود. این ویژگی مهمترین دلیل کاربرد گسترده این اتحاد است.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">\u003Cstrong>نکته:\u003C\u002Fstrong> عبارت \u003Cspan style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; : \">$\\sqrt{a} - \\sqrt{b}$\u003C\u002Fspan> را \u003Cstrong>مزدوج\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> عبارت \u003Cspan style=\"display: inline-block; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; : \">$\\sqrt{a} + \\sqrt{b}$\u003C\u002Fspan> می‌نامند و بالعکس. حاصل ضرب هر عبارت در مزدوجش همواره یک عدد گویا است.\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۲. کاربرد کلیدی: گویا کردن مخرج کسرها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\nرایج‌ترین کاربرد این اتحاد، \u003Cstrong>گویا کردن مخرج کسرها\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> است. در ریاضیات، معمولاً ترجیح می‌دهیم مخرج کسرها عددی گویا (بدون رادیکال) باشد. زمانی که مخرج کسری به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt{a}+\\sqrt{b}$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt{a}-\\sqrt{b}$\u003C\u002Fspan> ظاهر می‌شود، با ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج، می‌توانیم آن را گویا کنیم.\r\n\r\n\u003Cstrong>مثال:\u003C\u002Fstrong> کسر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{3}{\\sqrt{5}+\\sqrt{2}}$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. می‌خواهیم آن را به کسری با مخرج گویا تبدیل کنیم.\r\n\r\n\u003Cstrong>گام ۱:\u003C\u002Fstrong> مزدوج مخرج \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt{5}+\\sqrt{2})$\u003C\u002Fspan> عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt{5}-\\sqrt{2})$\u003C\u002Fspan> است.\r\n\r\n\u003Cstrong>گام ۲:\u003C\u002Fstrong> صورت و مخرج را در مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم. این کار مقدار کسر را تغییر نمی‌دهد زیرا در واقع در عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> ضرب می‌کنیم.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; vertical-align: baseline; text-align: left; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$\\frac{3}{\\sqrt{5}+\\sqrt{2}} = \\frac{3}{\\sqrt{5}+\\sqrt{2}} \\times \\frac{\\sqrt{5}-\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}-\\sqrt{2}}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cstrong>گام ۳:\u003C\u002Fstrong> عملیات ضرب را در صورت و مخرج انجام می‌دهیم.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; vertical-align: baseline; text-align: left; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$= \\frac{3(\\sqrt{5}-\\sqrt{2})}{(\\sqrt{5}+\\sqrt{2})(\\sqrt{5}-\\sqrt{2})}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cstrong>گام ۴:\u003C\u002Fstrong> از اتحاد مزدوج برای ساده‌سازی مخرج استفاده می‌کنیم. طبق رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt{5}+\\sqrt{2})(\\sqrt{5}-\\sqrt{2}) = 5 - 2 = 3$\u003C\u002Fspan>.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; vertical-align: baseline; text-align: left; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$= \\frac{3(\\sqrt{5}-\\sqrt{2})}{3} = \\sqrt{5} - \\sqrt{2}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\nهمان‌طور که دیدیم، کسر اولیه به یک عبارت رادیکالی ساده‌تر تبدیل شد. این روش برای هر کسری با مخرج جمع یا تفریق دو رادیکال کارایی دارد.\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه گویا کردن مخرج\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 500px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\r\n\u003Cthead>\r\n\r\n\u003Ctr>\r\n\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">کسر اولیه\u003C\u002Fth>\r\n\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مزدوج مخرج\u003C\u002Fth>\r\n\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">حاصل ضرب مخرج در مزدوجش\u003C\u002Fth>\r\n\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">کسر گویا شده\u003C\u002Fth>\r\n\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\r\n\u003Ctbody>\r\n\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{2}{\\sqrt{3}+1}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt{3}-1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3-1=2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{2(\\sqrt{3}-1)}{2}=\\sqrt{3}-1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{\\sqrt{7}}{\\sqrt{7}-\\sqrt{5}}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt{7}+\\sqrt{5}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$7-5=2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{\\sqrt{7}(\\sqrt{7}+\\sqrt{5})}{2}=\\frac{7+\\sqrt{35}}{2}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{4}{3-\\sqrt{2}}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3+\\sqrt{2}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$9-2=7$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{4(3+\\sqrt{2})}{7}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۳. کاربرد در ساده‌سازی عبارت‌ها و حل معادلات\u003C\u002Fh3>\r\n\r\nعلاوه بر گویا کردن مخرج، این اتحاد در ساده‌سازی عبارت‌های جبری پیچیده و حل برخی معادلات خاص نیز نقش دارد.\r\n\r\n\u003Cstrong>مثال ساده‌سازی عبارت:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید می‌خواهیم مقدار عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt{8}+3)(\\sqrt{8}-3)$\u003C\u002Fspan> را محاسبه کنیم. بدون نیاز به ضرب مستقیم و محاسبه اعداد رادیکالی، با استفاده از اتحاد مزدوج داریم:\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; vertical-align: baseline; text-align: left; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$(\\sqrt{8}+3)(\\sqrt{8}-3) = (\\sqrt{8})^2 - 3^2 = 8 - 9 = -1$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\nاین محاسبه بسیار سریع‌تر از روش‌های جایگزین است.\r\n\r\n\u003Cstrong>مثال حل معادله:\u003C\u002Fstrong> معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x(\\sqrt{5}+\\sqrt{3}) = \\sqrt{5} - \\sqrt{3}$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. برای یافتن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>، کافی است دو طرف معادله را بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt{5}+\\sqrt{3})$\u003C\u002Fspan> تقسیم کنیم. برای ساده‌سازی، صورت و مخرج کسر حاصل را در مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم:\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; vertical-align: baseline; text-align: left; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$x = \\frac{\\sqrt{5} - \\sqrt{3}}{\\sqrt{5}+\\sqrt{3}} = \\frac{(\\sqrt{5} - \\sqrt{3})}{(\\sqrt{5}+\\sqrt{3})} \\times \\frac{(\\sqrt{5} - \\sqrt{3})}{(\\sqrt{5} - \\sqrt{3})} = \\frac{(\\sqrt{5} - \\sqrt{3})^2}{5 - 3}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; vertical-align: baseline; text-align: left; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$= \\frac{5 + 3 - 2\\sqrt{15}}{2} = \\frac{8 - 2\\sqrt{15}}{2} = 4 - \\sqrt{15}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\nبنابراین جواب معادله، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x = 4 - \\sqrt{15}$\u003C\u002Fspan> است.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۴. مثال عینی: کاربرد در هندسه و فیزیک\u003C\u002Fh3>\r\n\r\nفرض کنید در یک مسئله فیزیک، به مقاومت معادل دو مقاومت موازی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$R_1 = 2+\\sqrt{3}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$R_2 = 2-\\sqrt{3}$\u003C\u002Fspan> اهم نیاز داریم. فرمول مقاومت موازی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$R_{eq} = \\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$\u003C\u002Fspan> است. با جایگذاری مقادیر داریم:\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; vertical-align: baseline; text-align: left; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$R_{eq} = \\frac{(2+\\sqrt{3})(2-\\sqrt{3})}{(2+\\sqrt{3}) + (2-\\sqrt{3})}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\nصورت کسر یک اتحاد مزدوج است: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(2+\\sqrt{3})(2-\\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$\u003C\u002Fspan>. مخرج کسر نیز به سادگی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2+\\sqrt{3}+2-\\sqrt{3} = 4$\u003C\u002Fspan> است. بنابراین:\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; vertical-align: baseline; text-align: left; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">$R_{eq} = \\frac{1}{4} \\text{ اهم}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\nدر اینجا، اتحاد مزدوج محاسبه را بسیار ساده و سریع کرد. اگر بخواهیم این اعداد را به صورت اعشاری محاسبه کنیم، با اعداد گنگ و محاسبات طولانی مواجه می‌شدیم.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۵. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; font-weight: bold; color: #344054; : \">❓ سؤال ۱: آیا می‌توانیم از این اتحاد برای گویا کردن مخرج کسری مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}+1}$\u003C\u002Fspan> استفاده کنیم؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; color: #667085; : \">خیر. این اتحاد به طور خاص برای \u003Cstrong>دو\u003C\u002Fstrong> جمله‌ای‌های رادیکالی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt{a}\\pm\\sqrt{b}$\u003C\u002Fspan>) طراحی شده است. برای مخرج‌های سه جمله‌ای، ابتدا باید با ضرب در یک عامل مناسب، عبارت را به دو جمله‌ای تبدیل کنیم یا از روش‌های پیشرفته‌تری مانند ضرب در مزدوج‌های متوالی استفاده کنیم. مثلاً می‌توانیم آن را به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt{3}+1)+\\sqrt{2}$\u003C\u002Fspan> ببینیم.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; font-weight: bold; color: #344054; : \">❓ سؤال ۲: اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b$\u003C\u002Fspan> منفی باشند، رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt{a}+\\sqrt{b})(\\sqrt{a}-\\sqrt{b})=a-b$\u003C\u002Fspan> همچنان برقرار است؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; color: #667085; : \">در مجموعه اعداد حقیقی، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt{a}$\u003C\u002Fspan> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a تعریف نشده است (عدد حقیقی نیست). بنابراین فرض بر این است که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\ge 0$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b \\ge 0$\u003C\u002Fspan>. اگر وارد حوزه اعداد مختلط شویم، این رابطه با تعریف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt{-1}=i$\u003C\u002Fspan> همچنان برقرار است، اما محاسبات متفاوت خواهد بود.\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; font-weight: bold; color: #344054; : \">❓ سؤال ۳: چرا حاصل ضرب یک عبارت در مزدوجش همواره گویا است؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; color: #667085; : \">زیرا با ضرب دو جمله‌ای مزدوج، جمله‌های شامل رادیکال (که در واقع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\pm \\sqrt{ab}$\u003C\u002Fspan> هستند) به دلیل داشتن علامت مخالف، یکدیگر را حذف می‌کنند. آنچه باقی می‌ماند، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b$\u003C\u002Fspan> هستند که اگر خود گویا باشند (مثلاً اعداد صحیح یا کسری)، نتیجه نهایی یک عدد گویا خواهد بود. این یک ویژگی ساختاری و زیبای جبر است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\nاتحاد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt{a}+\\sqrt{b})(\\sqrt{a}-\\sqrt{b})=a-b$\u003C\u002Fspan> یکی از ابزارهای پایه‌ای و ضروری در جبر دبیرستان است. تسلط بر آن، علاوه بر کمک به ساده‌سازی عبارت‌ها و گویا کردن مخرج کسرها، درک عمیق‌تری از ساختار اعداد و عبارت‌های جبری به ما می‌دهد. با تمرین و به‌کارگیری آن در مسائل متنوع، این اتحاد به یکی از مهارت‌های همیشگی شما در حل مسائل ریاضی تبدیل خواهد شد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی‌\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin: 5px 0; color: #667085; : \">\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>مزدوج (Conjugate):\u003C\u002Fstrong> در ریاضیات، به ویژه در جبر، مزدوج یک عبارت دوجمله‌ای که شامل رادیکال است، عبارتی است که با تغییر علامت میان دو جمله به دست می‌آید. برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt{a}+\\sqrt{b}$\u003C\u002Fspan>، مزدوج آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt{a}-\\sqrt{b}$\u003C\u002Fspan> است. کاربرد اصلی آن در گویا‌سازی عبارت‌های رادیکالی است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin: 10px 0 5px 0; color: #667085; : \">\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>گویا کردن مخرج (Rationalizing the Denominator):\u003C\u002Fstrong> فرایندی است که در آن، یک کسر با مخرج گنگ (شامل رادیکال) را به کسری معادل با مخرج گویا (بدون رادیکال) تبدیل می‌کنیم. این کار معمولاً با ضرب صورت و مخرج کسر در یک عامل مناسب (اغلب مزدوج مخرج) انجام می‌شود و به ساده‌سازی محاسبات کمک می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"حاصل‌ضرب مزدوج‌ها","ریاضی دهم","پایه دهم",0,101,"2026-02-21 19:29:17","2026-02-22 12:38:45","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F2","12:38 1404\u002F12\u002F3",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]