[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11318":193,"$ftyqD4r59KEqxL5WnRdMmm1oXwdRCMzdc8Sg2uEaUd94":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},11318,1168,1182,2582,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FE93uyRNF1ip4PiA8Zy7T_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"مقاله جامع ریشه nام اعداد منفی با n فرد\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: وجود و ویژگی‌ها\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">بررسی مفهومی ریشه‌گیری از اعداد منفی با توان فرد، همراه با اثبات، مثال و کاربرد در معادلات\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nدر این مقاله به طور کامل با مفهوم ریشه nام برای اعداد منفی آشنا می‌شویم. برخلاف ریشه‌های زوج، وقتی n فرد است، ریشه nام یک عدد منفی کاملاً تعریف شده و منفی خواهد بود. با استفاده از مثال‌های عددی، جدول‌های مقایسه‌ای و حل معادلات، درک عمیقی از این مفهوم ریاضی پایه‌ای پیدا خواهید کرد. مباحث شامل تعریف ریشه nام، تأثیر فرد یا زوج بودن n، قوانین ضرب و تقسیم رادیکال‌ها و کاربرد آن در حل مسائل واقعی است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مفهوم پایه‌ای: ریشه nام چیست؟\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>ریشه nام یک عدد مانند a، عددی مانند x است که با توان رساندن به n به a برسد. به عبارت دیگر، اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^{n} = a$\u003C\u002Fspan> آنگاه x ریشه nام a نامیده می‌شود و با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[n]{a}$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود. در اینجا n که همان فرجه رادیکال است، عددی طبیعی و بزرگ‌تر از 1 است. نکته کلیدی که در مدرسه با آن مواجه می‌شوید این است که اگر a منفی باشد و n زوج، هیچ عدد حقیقی به عنوان ریشه وجود ندارد. اما اگر n فرد باشد، اوضاع کاملاً متفاوت است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>به عنوان ساده‌ترین مثال، ریشه دوم (فرجه زوج) عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-4$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. هیچ عدد حقیقی وجود ندارد که با خودش ضرب شود و حاصل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-4$\u003C\u002Fspan> بدهد. اما برای ریشه سوم (فرجه فرد)، داستان تغییر می‌کند. ما به دنبال عددی می‌گردیم که سه بار در خودش ضرب شود و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-8$\u003C\u002Fspan> بدهد. می‌دانیم که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(-2) \\times (-2) \\times (-2) = -8$\u003C\u002Fspan>. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-2$\u003C\u002Fspan> ریشه سوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-8$\u003C\u002Fspan> است. این مثال ساده، اصل اساسی موضوع ما را روشن می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>نکته:\u003C\u002Fstrong> در نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[n]{a}$\u003C\u002Fspan> به n فرجه و به a رادیکال‌شونده می‌گویند. اگر n فرد باشد، علامت ریشه (منفی یا مثبت) با علامت عدد زیر ریشه یکی است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مقایسه ریشه‌های با فرجه فرد و زوج\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>برای روشن شدن تفاوت اساسی بین ریشه‌های با فرجه فرد و زوج، جدول زیر را بررسی کنید. این جدول وجود یا عدم وجود ریشه حقیقی را برای اعداد مختلف نشان می‌دهد. توجه به این تفاوت در حل معادلات بسیار حیاتی است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه ریشه با فرجه فرد و زوج\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عدد (a)\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرجه (n)\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ریشه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[n]{a}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">توضیح\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$16$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$ (زوج)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$ و $-4$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">اعداد مثبت دو ریشه (مثبت و منفی) دارند.\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-16$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$ (زوج)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">وجود ندارد\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">هیچ عدد حقیقی با توان ۲ به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-16$\u003C\u002Fspan> نمی‌رسد.\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-27$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$ (فرد)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-3$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">یک ریشه منفی منحصر‌به‌فرد دارد.\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$32$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$ (فرد)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">اعداد مثبت یک ریشه مثبت دارند.\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-32$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$ (فرد)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">یک ریشه منفی منحصر‌به‌فرد دارد.\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>همانطور که در جدول مشاهده می‌کنید، ویژگی کلیدی برای اعداد منفی این است که اگر فرجه فرد باشد، ریشه حقیقی دارد و آن ریشه منفی است. اگر فرجه زوج باشد، ریشه حقیقی در اعداد حقیقی تعریف نمی‌شود. این تمایز بنیادی، اساس بسیاری از قوانین جبری است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چرا ریشه nام عدد منفی با n فرد منفی است؟ (اثبات ساده)\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>برای اثبات این موضوع از مفهوم توان و علائم استفاده می‌کنیم. فرض کنید a یک عدد منفی است (یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\lt 0$\u003C\u002Fspan>) و n یک عدد فرد. ما می‌خواهیم مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x = \\sqrt[n]{a}$\u003C\u002Fspan> را پیدا کنیم. طبق تعریف داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^{n} = a$\u003C\u002Fspan>. حال، وضعیت علامت x را بررسی می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>اگر x مثبت باشد، حاصل ضرب n بار یک عدد مثبت در خودش، همواره مثبت خواهد بود، زیرا n بار ضرب علامت مثبت، نتیجه مثبت می‌دهد. اما a منفی است. بنابراین x نمی‌تواند مثبت باشد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>اگر x صفر باشد، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^{n}=0$\u003C\u002Fspan> که با a منفی برابر نیست. پس x نمی‌تواند صفر باشد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>اگر x منفی باشد، از آنجایی که n فرد است، حاصل ضرب n بار یک عدد منفی در خودش، منفی خواهد بود (زیرا تعداد دفعات فرد منفی، نتیجه را منفی نگه می‌دارد). بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^{n}$\u003C\u002Fspan> منفی می‌شود که با a منفی هم‌خوانی دارد. به عبارت دیگر، اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x = -b$\u003C\u002Fspan> که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b>0$\u003C\u002Fspan>، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^{n} = (-b)^{n} = -(b^{n})$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\u003Cp>از بین این سه حالت، تنها حالت آخر با شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^{n}=a$\u003C\u002Fspan> (با a منفی) سازگار است. بنابراین x حتماً باید منفی باشد. این اثبات ساده نشان می‌دهد که چرا ریشه اعداد منفی با فرجه فرد، نه فقط وجود دارد، بلکه حتماً منفی است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">حل معادلات شامل ریشه با فرجه فرد\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>این مفهوم در حل معادلات توانی کاربرد فراوان دارد. معادله‌ای مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^{3} = -125$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. برای حل، کافی است از دو طرف معادله ریشه سوم بگیریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x = \\sqrt[3]{-125}$\u003C\u002Fspan>. از آنجا که فرجه فرد (3) است، ریشه وجود دارد و منفی است. با آزمون و خطا یا دانستن مکعب اعداد، می‌دانیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5^{3}=125$\u003C\u002Fspan>، بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(-5)^{3} = -125$\u003C\u002Fspan>. پس جواب معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=-5$\u003C\u002Fspan> است. به یاد داشته باشید که برخلاف معادلات درجه دوم، در اینجا فقط یک جواب داریم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال دیگر:\u003C\u002Fstrong> معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2x^{5} + 64 = 0$\u003C\u002Fspan> را حل کنید.\r\n\u003Cbr>\r\nابتدا معادله را ساده می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2x^{5} = -64 \\Rightarrow x^{5} = -32$\u003C\u002Fspan>.\r\nسپس ریشه پنجم دو طرف: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x = \\sqrt[5]{-32}$\u003C\u002Fspan>. می‌دانیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2^{5}=32$\u003C\u002Fspan>، پس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(-2)^{5} = -32$\u003C\u002Fspan>. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=-2$\u003C\u002Fspan> جواب معادله است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>سؤال چالشی ۱:\u003C\u002Fstrong> چرا معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^{4} = -16$\u003C\u002Fspan> در اعداد حقیقی جواب ندارد، اما معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^{3} = -27$\u003C\u002Fspan> یک جواب دارد؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin-top: 8px; : \">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> در معادله اول فرجه زوج (۴) است. هر عدد حقیقی (خواه مثبت خواه منفی) که به توان زوج برسد، نتیجه مثبت خواهد بود. بنابراین هیچ عدد حقیقی وجود ندارد که توان چهارم آن یک عدد منفی شود. اما در معادله دوم فرجه فرد (۳) است. عدد منفی اگر به توان فرد برسد، منفی می‌ماند. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(-3)^{3} = -27$\u003C\u002Fspan> جواب معادله است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin-top: 16px; : \">\u003Cstrong>سؤال چالشی ۲:\u003C\u002Fstrong> حاصل عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[5]{-243}$\u003C\u002Fspan> چیست؟ آیا می‌توانیم آن را به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-\\sqrt[5]{243}$\u003C\u002Fspan> بنویسیم؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin-top: 8px; : \">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3^{5}=243$\u003C\u002Fspan>، بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(-3)^{5} = -243$\u003C\u002Fspan>. پس حاصل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-3$\u003C\u002Fspan> است. بله، برای فرجه‌های فرد، یک قانون کلی داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[n]{-a} = -\\sqrt[n]{a}$\u003C\u002Fspan> که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a>0$\u003C\u002Fspan>. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[5]{-243} = -\\sqrt[5]{243} = -3$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin-top: 16px; : \">\u003Cstrong>سؤال چالشی ۳:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> یک عدد منفی باشد و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> فرد، آیا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[n]{x^{n}}$\u003C\u002Fspan> با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> برابر است؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin-top: 8px; : \">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله. ابتدا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^{n}$\u003C\u002Fspan> را محاسبه می‌کنیم. چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> منفی و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> فرد است، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x^{n}$\u003C\u002Fspan> منفی خواهد بود. سپس ریشه nام (با فرجه فرد) یک عدد منفی را می‌گیریم. همانطور که گفتیم، این ریشه وجود دارد و منفی است و دقیقاً برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan> خواهد بود، زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt[n]{x^{n}})^{n} = x^{n}$\u003C\u002Fspan> و ریشه nام یک عدد منفی منحصربه‌فرد است. به عنوان مثال، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x=-2$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n=3$\u003C\u002Fspan>: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[3]{(-2)^{3}} = \\sqrt[3]{-8} = -2$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی: محاسبه ریشه اعداد منفی در مسائل\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>فرض کنید در یک مسئله فیزیک، حجم یک مکعب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$64$\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر مکعب است. طول ضلع آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[3]{64}=4$\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر است. حال اگر در مسئله‌ای صحبت از حجم منفی باشد (که معمولاً معنی فیزیکی ندارد، اما در برخی مدل‌های ریاضی می‌تواند پیش آید)، باز هم می‌توانیم طول ضلع را به عنوان یک عدد منفی محاسبه کنیم. برای مثال اگر حجم یک مکعب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-64$\u003C\u002Fspan> واحد باشد، طول ضلع آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-4$\u003C\u002Fspan> واحد خواهد بود. هرچند در دنیای واقعی طول منفی معنا ندارد، اما در دستگاه‌های مختصات یا مسائل جبری، این مفهوم کاملاً پذیرفته شده است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>مثال دیگر در علم اقتصاد: گاهی رشد یک کمیت را با نرخ‌های منفی مدل‌سازی می‌کنند. برای یافتن مقدار اولیه با داشتن رشد مرکب معکوس، ممکن است به ریشه‌گیری با فرجه فرد از یک عدد منفی برسیم. مثلاً اگر ارزش یک سرمایه‌گذاری بعد از سه سال به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$-1000$\u003C\u002Fspan> دلار برسد (که نشان‌دهنده بدهی است) و نرخ رشد سالانه ثابت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r$\u003C\u002Fspan> باشد، داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P(1+r)^{3} = -1000$\u003C\u002Fspan>. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P$\u003C\u002Fspan> مثبت باشد، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(1+r)^{3}$\u003C\u002Fspan> منفی است که این تنها با منفی بودن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1+r$\u003C\u002Fspan> ممکن است (یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$r \\lt -1$\u003C\u002Fspan>) و آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1+r = \\sqrt[3]{-1000\u002FP}$\u003C\u002Fspan> محاسبه می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">قوانین جبری برای ریشه‌های با فرجه فرد\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>هنگام کار با ریشه‌های فرد، می‌توانیم از قوانین ساده‌سازی مشابه اعداد مثبت استفاده کنیم، با این تفاوت که علامت منفی را می‌توان از زیر رادیکال خارج کرد. مهم‌ترین قوانین عبارتند از:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>خارج کردن منفی:\u003C\u002Fstrong> اگر n فرد باشد، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[n]{-a} = -\\sqrt[n]{a}$\u003C\u002Fspan> که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\ge 0$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>ضرب ریشه‌ها:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[n]{a} \\times \\sqrt[n]{b} = \\sqrt[n]{a \\times b}$\u003C\u002Fspan>. این قانون برای اعداد منعیّت ندارد، به شرطی که n فرد باشد، زیرا حاصل ضرب دو عدد منفی، مثبت می‌شود و ریشه فرد از عدد مثبت تعریف شده است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>تقسیم ریشه‌ها:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{\\sqrt[n]{a}}{\\sqrt[n]{b}} = \\sqrt[n]{\\frac{a}{b}}$\u003C\u002Fspan>، با شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b \\neq 0$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>توان ریشه:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$(\\sqrt[n]{a})^{m} = \\sqrt[n]{a^{m}}$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cstrong>برآیند بحث:\u003C\u002Fstrong> ریشه nام برای اعداد منفی وقتی n فرد است، نه تنها یک مفهوم معتبر ریاضی است، بلکه رفتاری منظم و قابل پیش‌بینی دارد. برخلاف فرجه‌های زوج که دامنه اعداد حقیقی را به اعداد نامنفی محدود می‌کنند، فرجه‌های فرد به ما اجازه می‌دهند با اعداد منفی نیز به راحتی کار کنیم و ریشه آنها را که خود عددی منفی است، به دست آوریم. درک این تفاوت برای حل معادلات، ساده‌سازی عبارات جبری و مدل‌سازی پدیده‌هایی که شامل مقادیر منفی هستند، ضروری است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>ریشه nام (nth Root):\u003C\u002Fstrong> عملی است که عددی را پیدا می‌کند که با n بار ضرب در خودش، عدد داده شده را نتیجه دهد. \u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>فرجه (Index\u002FOrder):\u003C\u002Fstrong> به عدد n در نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[n]{a}$\u003C\u002Fspan> گفته می‌شود که نشان‌دهنده درجه ریشه است. \u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>رادیکال‌شونده (Radicand):\u003C\u002Fstrong> به عدد a در نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\sqrt[n]{a}$\u003C\u002Fspan> گفته می‌شود که زیر علامت رادیکال قرار می‌گیرد. \u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>اعداد حقیقی (Real Numbers):\u003C\u002Fstrong> مجموعه تمام اعداد گویا و گنگ که می‌توانند روی محور اعداد نمایش داده شوند. اعداد منفی و مثبت و صفر جزء این مجموعه هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد","ریاضی دهم","پایه دهم",0,303,"2026-02-19 22:43:16","2026-07-20 03:13:15","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F11\u002F30","3:13 1405\u002F04\u002F29",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,239,245,254,262,270,278,286,294,302,310],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":198,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":240,"title":225,"cat":199,"pic":241,"up_date":242,"title_url":228,"url":243,"legacy_url":244,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":246,"title":247,"cat":199,"pic":248,"up_date":249,"title_url":250,"url":251,"legacy_url":252,"cat_title":212,"update_jalali":253},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":255,"title":256,"cat":199,"pic":257,"up_date":258,"title_url":259,"url":260,"legacy_url":261,"cat_title":212,"update_jalali":253},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":263,"title":264,"cat":199,"pic":265,"up_date":266,"title_url":267,"url":268,"legacy_url":269,"cat_title":212,"update_jalali":253},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":271,"title":272,"cat":199,"pic":273,"up_date":274,"title_url":275,"url":276,"legacy_url":277,"cat_title":212,"update_jalali":253},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":279,"title":280,"cat":199,"pic":281,"up_date":282,"title_url":283,"url":284,"legacy_url":285,"cat_title":212,"update_jalali":253},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":287,"title":288,"cat":199,"pic":289,"up_date":290,"title_url":291,"url":292,"legacy_url":293,"cat_title":212,"update_jalali":253},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":295,"title":296,"cat":199,"pic":297,"up_date":298,"title_url":299,"url":300,"legacy_url":301,"cat_title":212,"update_jalali":253},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":303,"title":304,"cat":199,"pic":305,"up_date":306,"title_url":307,"url":308,"legacy_url":309,"cat_title":212,"update_jalali":253},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":311,"title":312,"cat":199,"pic":313,"up_date":314,"title_url":315,"url":316,"legacy_url":317,"cat_title":212,"update_jalali":253},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]