[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11060":193,"$fV_vGGaFp_gM3lmA3fWJnu0QMJBB9xdXvp45pcP6NYfQ":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},11060,1168,1182,2582,"تعداد اعضای اجتماع دو  مجموعه: فرمول n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) برای شمارش اعضای اجتماع دو مجموعه متناهی",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCd0rhpLIoSocBpMyXEt5_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"اصل جمع و اجتماع دو مجموعه\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">اصل جمع؛ فرمول تعداد اعضای اجتماع دو مجموعه\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">آشنایی با فرمول n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) و کاربردهای آن در شمارش، آمار روزمره و حل مسائل منطقی.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله با \u003Cstrong>اصل جمع\u003C\u002Fstrong> در نظریه مجموعه‌ها آشنا می‌شویم. فرمول پایه‌ای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A \\cup B) = n(A) + n(B) - n(A \\cap B)$\u003C\u002Fspan> که تعداد اعضای اجتماع دو مجموعه را محاسبه می‌کند، به همراه مثال‌های متنوع از زندگی روزمره (مانند شمارش دانش‌آموزان شرکت‌کننده در کلاس‌های ورزشی) بررسی خواهد شد. همچنین با کمک جدول و نمودارهای ذهنی، کاربرد این فرمول را در آمار و حل مسائل منطقی درک خواهیم کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مفهوم مجموعه و عضو‌های آن\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085\">در زندگی روزمره، هم‌واره با دسته‌بندی‌هایی سروکار داریم که به آن‌ها \u003Cstrong>مجموعه\u003C\u002Fstrong> می‌گوییم. برای نمونه، مجموعهٔ دانش‌آموزان یک کلاس، مجموعهٔ کتاب‌های یک کتابخانه، یا مجموعهٔ رنگ‌های پرچم ایران. به هر یک از افراد یا اشیایی که در این دسته‌ها قرار می‌گیرند، \u003Cstrong>عضو\u003C\u002Fstrong> یا عنصر مجموعه گفته می‌شود. گاهی نیاز داریم تعداد اعضای یک یا چند مجموعه را بشماریم و رابطهٔ بین آن‌ها را پیدا کنیم. اینجاست که فرمول‌های شمارش مانند اصل جمع به کمک ما می‌آیند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085; margin-bottom: 8px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 8px\">در ریاضیات، تعداد اعضای یک مجموعهٔ متناهی\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> را با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A)$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|A|$\u003C\u002Fspan> نمایش می‌دهند. وقتی دو مجموعه داشته باشیم، ممکن است برخی اعضا در هر دو مجموعه مشترک باشند. این اعضای مشترک، \u003Cstrong>اشتراک\u003C\u002Fstrong> دو مجموعه را تشکیل می‌دهند که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A \\cap B$\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چرا نمی‌توانیم صرفاً دو عدد را جمع کنیم؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085\">فرض کنید در یک مدرسه، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A)=30$\u003C\u002Fspan> نفر در کلاس فوتبال و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(B)=20$\u003C\u002Fspan> نفر در کلاس شنا ثبت‌نام کرده‌اند. اگر بخواهیم بدانیم چند دانش‌آموز حداقل در یکی از این دو کلاس شرکت کرده‌اند، ممکن است وسوسه شویم که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$30+20=50$\u003C\u002Fspan> را جواب دهیم. اما اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$5$\u003C\u002Fspan> نفر در هر دو کلاس عضو باشند، در این جمع ساده، این \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$5$\u003C\u002Fspan> نفر دو بار شمرده شده‌اند. بنابراین تعداد واقعی شرکت‌کنندگان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$50-5=45$\u003C\u002Fspan> نفر خواهد بود. این خطای شمارش، دلیل اصلی نیاز به یک فرمول دقیق است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">فرمول اصلی اجتماع دو مجموعه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085\">برای جلوگیری از شمارش مضاعف اعضای مشترک، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; text-align: center\">\u003Cspan style=\"background: #f2f4f7; border-radius: 8px; direction: ltr; display: inline-block; padding: 6px 12px; vertical-align: baseline\">$n(A \\cup B) = n(A) + n(B) - n(A \\cap B)$ \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085; margin-bottom: 8px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 8px\">در این فرمول، نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A \\cup B$\u003C\u002Fspan> بیانگر \u003Cstrong>اجتماع\u003C\u002Fstrong> دو مجموعه است؛ یعنی مجموعه‌ای از تمام اعضایی که حداقل در یکی از دو مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B$\u003C\u002Fspan> حضور دارند. این فرمول به ما می‌گوید که برای یافتن تعداد کل اعضای اجتماع، ابتدا اعضای دو مجموعه را با هم جمع می‌کنیم و سپس اعضای مشترک را که دو بار شمرده شده‌اند، یک بار کم می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; margin-left: 6px; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">نکته\u003C\u002Fspan> این فرمول تنها برای مجموعه‌های \u003Cstrong>متناهی\u003C\u002Fstrong> معنا دارد. اگر مجموعه‌ها نامتناهی باشند، مفهوم شمارش اعضا تغییر کرده و این فرمول به‌کار نمی‌رود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مثال کاربردی از محیط مدرسه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085\">در یک دبیرستان، از دانش‌آموزان خواسته شده است که حداقل یکی از دو درس «برنامه‌نویسی» یا «کارگاه کارآفرینی» را انتخاب کنند. \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$35$\u003C\u002Fspan> نفر برنامه‌نویسی، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$28$\u003C\u002Fspan> نفر کارآفرینی و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$12$\u003C\u002Fspan> نفر هر دو درس را انتخاب کرده‌اند. تعداد دانش‌آموزانی که حداقل یکی از این دو درس را گرفته‌اند، چند نفر است؟\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085; margin-bottom: 8px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 8px\">با قرار دادن اعداد در فرمول داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(P \\cup E) = n(P) + n(E) - n(P \\cap E) = 35 + 28 - 12 = 51$ \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085; margin-bottom: 8px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 8px\">بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$51$\u003C\u002Fspan> نفر حداقل در یکی از این دو کلاس شرکت کرده‌اند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مقایسه حالت‌های مختلف اشتراک\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085\">قدرت این فرمول در شرایط گوناگون به خوبی نمایان می‌شود. جدول زیر حالت‌های مختلف رابطهٔ دو مجموعه و تعداد اعضای اجتماع را نشان می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقایسه حالت‌های اشتراک\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرح حالت\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A \\cap B)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نتیجه\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مجموعه‌های جدا (تفکیک شده)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A) + n(B)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">جمع ساده\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مجموعه‌های هم‌پوشان (دارای اشتراک)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$k \\gt 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A) + n(B) - k$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">جمع منهای تداخل\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مجموعه‌های تودرتو (زیرمجموعه)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A)$\u003C\u002Fspan> (اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A \\subset B$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(B)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">اجتماع برابر مجموعهٔ بزرگتر\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد در مسائل آمار و نظرسنجی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085\">فرض کنید در یک نظرسنجی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$100$\u003C\u002Fspan> نفر پرسیده شده است که آیا قهوه می‌نوشند یا چای. نتایج نشان داد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$70$\u003C\u002Fspan> نفر قهوه‌نوش، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$55$\u003C\u002Fspan> نفر چای‌نوش و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$30$\u003C\u002Fspan> نفر هر دو نوشیدنی را مصرف می‌کنند. هدف، یافتن تعداد افرادی است که حداقل یکی از این دو نوشیدنی را مصرف می‌کنند. با استفاده از فرمول:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(C \\cup T) = 70 + 55 - 30 = 95$ \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085; margin-bottom: 8px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 8px\">بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$95$\u003C\u002Fspan> نفر قهوه یا چای می‌نوشند. همچنین می‌توان فهمید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$100-95=5$\u003C\u002Fspan> نفر هیچ‌کدام از این دو نوشیدنی را مصرف نمی‌کنند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp style=\"color: #667085\">\u003Cstrong>۱. اگر اشتراک دو مجموعه از یکی از آن‌ها بزرگتر باشد، چه اتفاقی می‌افتد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085; padding-right: 18px\">از نظر تئوری مجموعه‌ها، اشتراک دو مجموعه همیشه زیرمجموعه‌ای از هر یک از آن‌هاست. بنابراین تعداد اعضای اشتراک نمی‌تواند از تعداد اعضای هیچ‌کدام از مجموعه‌ها بیشتر شود. \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A \\cap B) \\le n(A)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A \\cap B) \\le n(B)$\u003C\u002Fspan> همواره برقرار است. پس چنین حالتی غیرممکن است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085\">\u003Cstrong>۲. آیا این فرمول برای سه مجموعه نیز قابل گسترش است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085; padding-right: 18px\">بله. برای سه مجموعه، فرمول به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A \\cup B \\cup C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A \\cap B)-n(A \\cap C)-n(B \\cap C)+n(A \\cap B \\cap C)$\u003C\u002Fspan> در می‌آید. این قاعده را «اصل شمول و عدم شمول»\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> می‌نامند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085\">\u003Cstrong>۳. اگر اعضای مجموعه‌ها نامشخص باشند و فقط تعدادها را بدانیم، چگونه می‌توان از صحت داده‌ها مطمئن شد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #667085; padding-right: 18px\">همیشه باید بررسی کرد که آیا اعداد داده شده با واقعیت منطقی سازگارند. برای مثال، تعداد اعضای اشتراک نباید از هیچ‌کدام از مجموعه‌ها بیشتر باشد و همچنین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A \\cup B)$\u003C\u002Fspan> نباید از مجموع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(B)$\u003C\u002Fspan> بیشتر شود. اگر داده‌ها این شرایط را نقض کنند، در گزارش نظرسنجی یا شمارش اشتباهی رخ داده است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n(A \\cup B) = n(A) + n(B) - n(A \\cap B)$\u003C\u002Fspan> یک ابزار پایه‌ای و در عین حال قدرتمند در شمارش است. با کمک آن می‌توان از شمارش مضاعف اعضای مشترک جلوگیری کرد و به آمار دقیقی از اجتماع دو مجموعه دست یافت. این اصل ساده، کاربردهای گسترده‌ای در آمار، نظرسنجی‌ها، مدیریت داده‌ها و حتی برنامه‌نویسی دارد. درک درست این مفهوم، زمینه‌ساز یادگیری مبانی پیچیده‌تر علم آمار و نظریه‌ی مجموعه‌ها خواهد بود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 12px; padding: 0\">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> مجموعهٔ متناهی (Finite Set): مجموعه‌ای که تعداد اعضای آن یک عدد طبیعی (صفر، یک، دو، ...) قابل شمارش باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> اصل شمول و عدم شمول (Inclusion–Exclusion Principle): قاعده‌ای برای شمارش تعداد اعضای اجتماع چند مجموعه که با در نظر گرفتن اشتراک‌های دوتایی، سه‌تایی و ... از شمارش مضاعف جلوگیری می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"اعضای اجتماع دو مجموعه","ریاضی دهم","پایه دهم",0,341,"2026-02-11 20:34:32","2026-08-16 23:38:29","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F11\u002F22","23:38 1405\u002F05\u002F25",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]