[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"blogPost-11056":3,"categoryMenus":28,"$fmsyOZtdoggOuo-SJkxni23DZ0UUhrEnCfn8xcMv6W7U":215},{"id":4,"section":5,"base":6,"course":7,"lesson":8,"title":9,"cat":10,"pic":11,"info_graphic":12,"podcast":12,"body":13,"tags":14,"metadata":12,"featured":18,"status":19,"views":20,"subdate":21,"up_date":22,"first_name":23,"last_name":24,"avatar":12,"cat_title":25,"subdate_jalali":26,"update_jalali":27},11056,67,1168,1182,2582,"شمارنده‌های یک عدد: اعداد طبیعی‌ای که آن عدد بر آن‌ها بخش‌پذیر است",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FU4DhBOAF8opMBZsOMRpf_800.png",null,"\u003Cdiv aria-label=\"شمارنده‌های یک عدد\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">شمارنده‌های یک عدد: از تعریف تا کاربرد در دنیای واقعی\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">کاوشی جامع در مورد مقسوم‌علیه‌های اعداد طبیعی، روش‌های یافتن آن‌ها و اهمیت آن‌ها در ریاضیات و زندگی روزمره\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله با مفهوم «شمارنده» یا «مقسوم‌علیه» در اعداد طبیعی آشنا می‌شویم. یاد می‌گیریم چگونه با روش‌های مختلف، شمارنده‌های یک عدد را پیدا کنیم، اعداد اول و مرکب را از هم تشخیص دهیم و از مفاهیمی مانند بزرگ‌ترین شمارنده مشترک (ب.م.م) و کوچک‌ترین شمارنده مشترک (ک.م.م) در حل مسائل استفاده کنیم. همچنین کاربردهای شگفت‌انگیز این مفاهیم را در علوم کامپیوتر، معماری و زندگی روزمره بررسی خواهیم کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">شمارنده (مقسوم‌علیه) چیست؟ تعریف و مفاهیم پایه‌ای\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در ریاضیات، به ویژه در نظریه اعداد\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>، برای یک عدد طبیعی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a $\u003C\u002Fspan>، هر عدد طبیعی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ b $\u003C\u002Fspan> که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a $\u003C\u002Fspan> بر آن بخش‌پذیر باشد (یعنی باقی‌مانده تقسیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a $\u003C\u002Fspan> بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ b $\u003C\u002Fspan> صفر شود)، یک «شمارنده» یا «مقسوم‌علیه» \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a $\u003C\u002Fspan> نامیده می‌شود. به عبارت دیگر، اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a = k \\times b $\u003C\u002Fspan> (که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ k $\u003C\u002Fspan> یک عدد طبیعی است)، آن‌گاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ b $\u003C\u002Fspan> یک شمارنده برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a $\u003C\u002Fspan> محسوب می‌شود. به عنوان مثال، عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 12 $\u003C\u002Fspan> بر اعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1, 2, 3, 4, 6, 12 $\u003C\u002Fspan> بخش‌پذیر است؛ بنابراین این شش عدد، مجموعه شمارنده‌های عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 12 $\u003C\u002Fspan> را تشکیل می‌دهند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">نکته مهم\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>هر عدد طبیعی حداقل دو شمارنده دارد: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1 $\u003C\u002Fspan> و خود عدد. اعدادی که فقط دو شمارنده داشته باشند ( \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1 $\u003C\u002Fspan> و خود عدد)، «اعداد اول»\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> نامیده می‌شوند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">روش‌های یافتن شمارنده‌های یک عدد: از آزمون و خطا تا تجزیه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای پیدا کردن مجموعه شمارنده‌های یک عدد، روش‌های مختلفی وجود دارد که با توجه به بزرگی عدد، می‌توان از آن‌ها استفاده کرد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch4 style=\"color: #344054; font-size: 16px\">۱. روش زوج‌یابی (آزمون و خطای هدفمند)\u003C\u002Fh4>\r\n\r\n\u003Cp>این روش برای اعداد کوچک بسیار کارآمد است. در این روش، اعداد از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1 $\u003C\u002Fspan> به بعد را بررسی می‌کنیم تا به عددی برسیم که مجذورش از عدد مورد نظر بزرگتر شود. هر بار که یک شمارنده پیدا می‌کنیم، زوج آن را نیز به دست می‌آوریم. به عنوان مثال، برای یافتن شمارنده‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 18 $\u003C\u002Fspan>:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>شمارنده \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1 $\u003C\u002Fspan>، زوج آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 18 $\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>شمارنده \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 2 $\u003C\u002Fspan>، زوج آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 9 $\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>شمارنده \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 3 $\u003C\u002Fspan>، زوج آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 6 $\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 4 $\u003C\u002Fspan> شمارنده نیست.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>به عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 5 $\u003C\u002Fspan> می‌رسیم که شمارنده نیست.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>عدد بعدی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 6 $\u003C\u002Fspan> است که قبلاً به عنوان زوج \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 3 $\u003C\u002Fspan> ثبت شده است. از آنجا که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 6 \\times 6 = 36 > 18 $\u003C\u002Fspan> است، کار را متوقف می‌کنیم.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>بنابراین، مجموعه شمارنده‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 18 $\u003C\u002Fspan> عبارتند از: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\{1, 2, 3, 6, 9, 18\\}$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch4 style=\"color: #344054; font-size: 16px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px\">۲. روش تجزیه به عوامل اول (روش استاندارد)\u003C\u002Fh4>\r\n\r\n\u003Cp>برای اعداد بزرگ، بهترین روش، تجزیه عدد به عوامل اول\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> است. اگر عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ n $\u003C\u002Fspan> به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ n = p_1^{a_1} \\times p_2^{a_2} \\times \\dots \\times p_k^{a_k} $\u003C\u002Fspan> (که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ p_i $\u003C\u002Fspan> ها اعداد اول و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a_i $\u003C\u002Fspan> ها نماهای آن‌ها هستند) تجزیه شود، آن‌گاه تعداد شمارنده‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ n $\u003C\u002Fspan> برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: block; text-align: center; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\tau(n) = (a_1 + 1) \\times (a_2 + 1) \\times \\dots \\times (a_k + 1) $\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>برای به دست آوردن خود شمارنده‌ها، کافی است همه ترکیبات ممکن از توان‌های عوامل اول را تشکیل دهیم. به عنوان مثال، برای عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 72 $\u003C\u002Fspan>:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>تجزیه: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 72 = 2^3 \\times 3^2 $\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>تعداد شمارنده‌ها: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (3+1) \\times (2+1) = 4 \\times 3 = 12 $\u003C\u002Fspan> شمارنده.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>شمارنده‌ها: با ضرب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 2^0, 2^1, 2^2, 2^3 $\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 3^0, 3^1, 3^2 $\u003C\u002Fspan> به دست می‌آیند: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72 $\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی شمارنده‌ها: از کاشی‌کاری تا رمزنگاری\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>شاید در نگاه اول، پیدا کردن شمارنده‌های یک عدد یک تمرین صرفاً ذهنی به نظر برسد، اما این مفهوم کاربردهای گسترده و حیاتی در دنیای واقعی دارد. در اینجا به دو نمونه ملموس اشاره می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #344054\">مثال عملی ۱: طراحی یک آشپزخانه\u003C\u002Fstrong>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید می‌خواهید کف یک آشپزخانه مستطیل‌شکل به ابعاد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 330 $\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 270 $\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر را با بزرگ‌ترین اندازه ممکن از کاشی‌های مربعی شکل بپوشانید، بدون اینکه نیازی به برش کاشی‌ها داشته باشید. در اینجا باید بزرگ‌ترین شمارنده مشترک (ب.م.م) ابعاد اتاق را پیدا کنید. شمارنده‌های مشترک \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 330 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 270 $\u003C\u002Fspan> اندازه‌های ممکن برای کاشی هستند. بزرگ‌ترین آن‌ها، یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 30 $\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر، پاسخ مسئله است. ( \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 330 = 30 \\times 11 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 270 = 30 \\times 9 $\u003C\u002Fspan> ).\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #344054\">مثال عملی ۲: رمزنگاری RSA\u003C\u002Fstrong>\r\n\r\n\u003Cp>امنیت ارتباطات در فضای مجازی، مانند خرید اینترنتی یا پیام‌رسان‌ها، تا حد زیادی به رمزنگاری RSA وابسته است. امنیت این الگوریتم بر پایه دشواری تجزیه اعداد بسیار بزرگ به عوامل اول (یافتن شمارنده‌های اول آن‌ها) استوار است. در حالی که ضرب دو عدد اول بزرگ (هر کدام با بیش از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 100 $\u003C\u002Fspan> رقم) کار ساده‌ای است، اما پیدا کردن آن دو عدد اول از روی حاصل‌ضربشان (یافتن شمارنده‌ها) با رایانه‌های فعلی سال‌ها زمان می‌برد. این همان مفهوم شمارنده‌هاست که از اطلاعات بانکی ما محافظت می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی در مورد شمارنده‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 10px; margin-left: 12px; margin-right: 12px; margin-top: 10px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #344054\">چالش ۱: آیا عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 0 $\u003C\u002Fspan> هم شمارنده دارد؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\r\n\u003Cp>خیر. در نظریه اعداد، وقتی از «شمارنده‌های یک عدد» صحبت می‌کنیم، معمولاً منظور اعداد طبیعی ( \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1, 2, 3, \\dots $\u003C\u002Fspan> ) است. تعریف بخش‌پذیری برای عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 0 $\u003C\u002Fspan> مبهم است، زیرا هر عددی به جز صفر، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 0 $\u003C\u002Fspan> را می‌شمارد ( \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ k \\times 0 = 0 $\u003C\u002Fspan> ). بنابراین، بحث بر سر شمارنده‌های صفر در ریاضیات مقدماتی معنایی ندارد و معمولاً از آن صرف‌نظر می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 10px; margin-left: 12px; margin-right: 12px; margin-top: 10px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #344054\">چالش ۲: آیا ممکن است یک عدد تعداد فردی شمارنده داشته باشد؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\r\n\u003Cp>بله. این اتفاق زمانی می‌افتد که عدد مورد نظر یک «مربع کامل» باشد. در مربع‌های کامل، یکی از زوج‌های شمارنده‌ها، یک عدد تکراری (جذر عدد) است. به عنوان مثال، شمارنده‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 36 $\u003C\u002Fspan> عبارتند از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\\} $\u003C\u002Fspan> که تعداد آن‌ها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 9 $\u003C\u002Fspan> (فرد) است. دلیل آن در فرمول تعداد شمارنده‌ها نهفته است: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 36 = 2^2 \\times 3^2 $\u003C\u002Fspan> و تعداد شمارنده‌ها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (2+1)\\times(2+1) = 9 $\u003C\u002Fspan> که حاصل ضرب دو عدد فرد است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #344054\">چالش ۳: آیا مجموعه شمارنده‌های یک عدد، خود یک ساختار ریاضی خاص دارد؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\r\n\u003Cp>بله. اگر عملیات ضرب را بر روی مجموعه شمارنده‌ها تعریف کنیم، این مجموعه یک «مشبکه» (Lattice) را تشکیل می‌دهد. به عبارت دیگر، برای هر دو شمارنده دلخواه از یک عدد، کوچک‌ترین شمارنده مشترک (ک.م.م) و بزرگ‌ترین شمارنده مشترک (ب.م.م) آن‌ها نیز خود یک شمارنده از آن عدد است. برای مثال، در شمارنده‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 30 $\u003C\u002Fspan> ( \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\\} $\u003C\u002Fspan> )، ک.م.م و ب.م.م اعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 6 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 10 $\u003C\u002Fspan> به ترتیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 30 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 2 $\u003C\u002Fspan> هستند که هر دو در مجموعه شمارنده‌ها حضور دارند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مقایسه مفاهیم مرتبط با شمارنده‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقایسه مفاهیم شمارنده\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مفهوم\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعریف\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال برای اعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">12\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">18\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">شمارنده (مقسوم‌علیه)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">عددی که عدد مورد نظر بر آن بخش‌پذیر است.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">شمارنده‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">12\u003C\u002Fspan>: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1,2,3,4,6,12\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n   شمارنده‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">18\u003C\u002Fspan>: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1,2,3,6,9,18\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ب.م.م (بزرگ‌ترین شمارنده مشترک)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">بزرگ‌ترین عددی که بر همه اعداد مورد نظر بخش‌پذیر است.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">gcd(12, 18) = 6\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ک.م.م (کوچک‌ترین شمارنده مشترک)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کوچک‌ترین عدد مثبتی که بر همه اعداد مورد نظر بخش‌پذیر است.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">lcm(12, 18) = 36\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #344054\">جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> شمارنده‌های یک عدد، مفاهیمی بنیادین در ریاضیات هستند که درک آن‌ها برای پیشرفت در مباحث پیچیده‌تر مانند نظریه اعداد، جبر و حتی علوم کامپیوتر ضروری است. ما یاد گرفتیم که شمارنده‌ها چگونه تعریف می‌شوند، چگونه با دو روش زوج‌یابی و تجزیه به عوامل اول آن‌ها را پیدا کنیم و چگونه مفاهیمی مانند ب.م.م و ک.م.م از دل آن‌ها بیرون می‌آیند. همچنین دیدیم که این مفاهیم صرفاً تئوری نیستند و در مسائل عملی از کاشی‌کاری گرفته تا امنیت اطلاعات در فضای مجازی، نقشی کلیدی ایفا می‌کنند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> نظریه اعداد (Number Theory): شاخه‌ای از ریاضیات محض که به مطالعه اعداد صحیح و خواص آن‌ها می‌پردازد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> اعداد اول (Prime Numbers): اعداد طبیعی بزرگتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan> که تنها بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan> و خودشان بخش‌پذیر باشند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> عوامل اول (Prime Factors): اعداد اولی که در تجزیه یک عدد به حاصل‌ضرب آن‌ها، آن عدد به دست می‌آید.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[15,16,17],"شمارنده‌های یک عدد","ریاضی دهم","پایه دهم",0,1,347,"2026-02-11 20:05:12","2026-08-16 23:22:10","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F11\u002F22","23:22 1405\u002F05\u002F25",{"status":19,"data":29},[30,69,129,147,167],{"id":19,"title":31,"list_order":19,"items":32},"آشنایی",[33,38,42,46,53,57,61,65],{"id":34,"link":35,"type":36,"slug":12,"title":37},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content","قوانین و مقررات",{"id":39,"link":40,"type":36,"slug":12,"title":41},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":43,"link":44,"type":36,"slug":12,"title":45},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":47,"link":48,"type":49,"slug":50,"handler":51,"title":52},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":54,"link":55,"type":36,"slug":12,"title":56},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":58,"link":59,"type":36,"slug":12,"title":60},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":62,"link":63,"type":36,"slug":12,"title":64},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":66,"link":67,"type":36,"slug":12,"title":68},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":70,"title":71,"list_order":19,"items":72},2,"المپیادها",[73,77,81,85,89,93,97,101,105,109,113,117,121,125],{"id":74,"link":75,"type":36,"slug":12,"title":76},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":78,"link":79,"type":36,"slug":12,"title":80},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":82,"link":83,"type":36,"slug":12,"title":84},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":86,"link":87,"type":36,"slug":12,"title":88},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":90,"link":91,"type":36,"slug":12,"title":92},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":94,"link":95,"type":36,"slug":12,"title":96},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":98,"link":99,"type":36,"slug":12,"title":100},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":102,"link":103,"type":36,"slug":12,"title":104},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":106,"link":107,"type":36,"slug":12,"title":108},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":110,"link":111,"type":36,"slug":12,"title":112},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":114,"link":115,"type":36,"slug":12,"title":116},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":118,"link":119,"type":36,"slug":12,"title":120},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":122,"link":123,"type":36,"slug":12,"title":124},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":126,"link":127,"type":36,"slug":12,"title":128},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":130,"title":131,"list_order":19,"items":132},3,"نمونه و تیزهوشان",[133,137,142],{"id":134,"link":135,"type":36,"slug":12,"title":136},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":138,"link":139,"type":49,"slug":140,"handler":140,"title":141},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":143,"link":144,"type":49,"slug":145,"handler":145,"title":146},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":148,"title":149,"list_order":19,"items":150},7,"کتابهای درسی",[151,155,159,163],{"id":152,"link":153,"type":36,"slug":12,"title":154},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":156,"link":157,"type":36,"slug":12,"title":158},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":160,"link":161,"type":36,"slug":12,"title":162},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":164,"link":165,"type":36,"slug":12,"title":166},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":34,"title":168,"list_order":34,"items":169},"پیشنهاد ویژه",[170,175,180,185,190,195,200,203,207,211],{"id":171,"link":172,"type":49,"slug":173,"handler":173,"title":174},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":176,"link":177,"type":49,"slug":178,"handler":178,"title":179},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":181,"link":182,"type":49,"slug":183,"handler":183,"title":184},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":186,"link":187,"type":49,"slug":188,"handler":188,"title":189},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":191,"link":192,"type":49,"slug":193,"handler":193,"title":194},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":196,"link":197,"type":36,"slug":198,"title":199},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":5,"link":201,"type":36,"slug":12,"title":202},"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":204,"link":205,"type":36,"slug":12,"title":206},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":208,"link":209,"type":36,"slug":12,"title":210},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":212,"link":213,"type":36,"slug":12,"title":214},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":10,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":25,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":10,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":25,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":10,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":25,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":10,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":25,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":10,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":25,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":10,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":25,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":10,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":25,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":10,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":25,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":10,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":25,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":10,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":25,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":10,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":25,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":10,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":25,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]